근삿값에 대한 오차의 절댓값이 어떤 값 이하일 때, 그 값을 근삿값에 대한 오차의 한계라고 하나요?
근삿값
근삿값에 대한 오차의 절댓값이 어떤 값 이하일 때, 그 값을 근삿값에 대한 오차의 한계라고 한다.
평균 제곱근 편차
몇몇 학문 분야에서는 평균 제곱근 편차를 "표준"으로 인정되지 않는 다른 두 물건의 차이를 비교할 때 사용하기도 한다. 예를 들어, 두 길쭉한 물건의 평균 거리를 측정하는 경우를 랜덤 벡터로 표현하면,
이고, 식은:
이 된다. 근 (수학)
근(根)은 등식의 일종인 방정식에서 쓰이는 용어로, 특정한 문자에 대한 방정식에서 “특정한 문자”가 ‘어떤 값’으로 변하여 참을 만족했을 때, 그 ‘어떤 값’이 바로 방정식의 근이다. 절댓값
복소수 formula_10의 절댓값 formula_11은 다음과 같이 정의된다.
여기서
즉, 복소평면에 놓인 복소수의 절댓값은 그 복소수와 원점 사이의 거리를 피타고라스 정리를 사용하여 구한 것과 같다. 절댓값
이는 실수의 절댓값의 정의와 호환된다. 모든 실수 formula_1에 대하여, 이를 복소수로 여겼을 때, 그 켤레 복소수는 자기 자신과 같다. 즉,
이다. 따라서,
이다. 즉, formula_5의 실수로서의 절댓값과 복소수로서의 절댓값은 서로 같다. 다른 관점에서, 실수선은 복소평면의 좌표축으로 여길 수 있는데, 이 경우 실수와 원점 사이의 거리는 실수선에 국한되어서 보는지 복소평면에서 보는지와 무관하다. 따라서 실수의 절댓값은 복소수의 절댓값의 특수한 경우이다. 반치전폭
반치전폭은 두 값의 차이인 formula_6로 정의된다.여기서 formula_8는 표준편차, formula_9는 함수의 평균값을 의미한다. 그러면 이 함수의 반치전폭과 표준편차의 관계는 다음과 같이 주어진다.이 함수의 반치전폭은 다음과 같이 구할 수 있다. 함수의 극한
단측 극한(單側極限, ) 또는 한쪽 극한은 보다 더 약한 개념의 극한이며, 좌극한(左極限, )과 우극한(右極限, )으로 나뉜다. 이들은 다음과 같이 정의된다. 실수 함수 formula_18에 대하여, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 좌극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_5이다.
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
비슷하게, 실수 함수 formula_28에 대하여, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 우극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_5이다.
또한, 이를 다음과 같이 표기한다. 사다리꼴 공식
사다리꼴 공식 근사의 오차
를 생각하자. 만약 formula_9가 formula_10 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 formula_11가 존재한다. 절댓값
실수를 formula_23, (실수일 수도 아닐 수도 있는) 복소수를 formula_24로 나타내자. 그렇다면, 절댓값의 성질을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 반올림
반올림(半-)은 근삿값을 구하는 방법 중 하나이다. 허용 오차
z: 신뢰 수준과 관련된 z-값(z-values, z-score). 신뢰 수준 95%일 경우 약 1.96이며, 99%일 경우 약 2.58이다. 제곱근 2
2의 제곱근은 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수이다. 기하학에서는 피타고라스 정리에 따라 한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이로 나타낼 수 있다. 2의 제곱근에 대한 근삿값으로는 이 쓰인다. 이 값은 2의 제곱근 참값과 사이에 오차가 0.00001 로 매우 정확한 편이다. 실제 2의 제곱근의 값은 순환되지 않는 무한 소수로 소수점이하 65자리까지의 근삿값은 다음과 같다. 극값
공역에 부분순서가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 공역이 실수집합 formula_38인 함수 formula_39를 생각하자.(여기서 formula_40는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 미분가능하고 formula_41에서 극값을 가진다면 formula_42이다. 즉, formula_41는 함수 formula_6의 임계점이다. 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 일계 도함수 판정법이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는 formula_45부터 formula_46까지의 모든 formula_47에대해 formula_48임을 알 수 있다. 다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 위 그래프의 점 I나 점 K의 경우 임계점이긴 하지만 극솟값이나 극댓값은 아니다. 엡실론-델타 논법
실수 부분 집합 formula_1에 정의된 실숫값 함수
가 formula_3의 극한점(=집합의 점들이 모여드는 점)
에서 가지는 극한
을 엡실론-델타 논법을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.
이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.
즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 일이, 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다. 여기서 사용된 표현 및 기호의 의미는 다음과 같다. 평균 제곱근 편차
평균 제곱근 편차(; RMSD) 또는 평균 제곱근 오차(; RMSE)는 추정 값 또는 모델이 예측한 값과 실제 환경에서 관찰되는 값의 차이를 다룰 때 흔히 사용하는 측도이다. 정밀도()를 표현하는데 적합하다. 각각의 차이값은 잔차()라고도 하며, 평균 제곱근 편차는 잔차들을 하나의 측도로 종합할 때 사용된다. 측정
오차와 대응해서 정도(精度)라는 용어도 쓰인다. 오차가 작은 것을 일컬을 때는 정도가 높다고 한다. 정도에도 측정의 정도와 가공의 정도가 있다. 같은 측정을 몇 번이고 되풀이하여 그 값에 기복이 적으면 정밀하다고 하며, 이들 측정치의 평균치가 목표인 값과의 편차가 작으면 정확하다고 한다. 정도의 내용에는 이처럼 정밀성과 정확성 등 양쪽을 포함하고 있어 한마디로 정도가 높다고 하는 표현이라도 어느쪽 의미인지를 확인하는 것이 중요하다. 1개의 철봉을 같은 장소에서 직경을 5회 측정하여 그 결과를 평균하면, 단 1회 측정했을 때보다 확실한 측정치를 얻게 된다. 다음에 같은 조건에서 가공한 10개의 철봉에서, 똑같은 측정을 되풀이하면 평균치를 10개 얻게 된다. 10개 중의 최대치와 최소치의 차는 가공의 기복이며, 가공의 정밀성을 보여 주는 것이 된다. 10개의 평균치를 다시 평균한 총평균치가 목표치에서 어느 정도의 편차를 보이는가는 가공의 정확성을 나타내는 척도가 된다. 다음에 어느 것이든 1개의 철봉을 선정, 중앙의 단면을 여러 방향으로 직경을 재어보면 단면의 형상이 정원이 아님을 알 수 있다. 이와 같은 진원의 정도를 진원도라 한다. 이번에는 철봉을 중심선을 지나는 세로로 잘랐을 때 절단면의 직경을 길이를 따라 측정해 보면 완전한 원통형이 아니고 다소 호리병박 형태, 쐐기형 등임을 알 수 있다. 이 같은 원통의 정도를 원통도라 부른다. 이와 같은 형상의 정도 외에 직각의 정도, 평행의 정도를 나타내는 직각도·평행도, 2개 이상의 원통 중심선의 일치의 정도를 나타내는 동심도 등이 있다. 또한 공작물의 표면을 국부적으로 자세히 조사해 보면, 매끈한 것이라든가 요철이 심한 것이라든가 여러 모양의 것이 있다. 이러한 표면 상태를 나타내는 것으로서 표면거칠기가 있으며, 이것은 요철의 높이에 따라 나뉜다. 가령 요철의 높이가 0.003 mm 이하이면 3－S, 0.006 mm 이하라면 6－S로 표시한다. 측정
분해능이란 기계에 부속하고 있는 척도의 최소 1눈금에 해당하는 길이 혹은 각도를 말하며, 이 1눈금보다 가공오차를 작게 한다는 것은 기대할 수가 없다. 기계류가 원래부터 지니고 있는 오차로서는 극단적인 예로서, 주축이 정확하게 회전하지 못하고 네모난 형상을 그리며 돌고 있는 선반을 사용해서 진원의 철봉을 가공한다는 것은 불가능하다. 또 공구를 부착하는 왕복대를 안내하는 안내면이 정확한 직선이 아닐 때에는 깎여진 공작물은 정확한 원통이 되지 못한다. 선반으로 나사를 깎을 때 엄지나사를 사용하는데, 이 엄지나사가 정확하지 못하면 이에 따라서 만들어지는 나사도 결코 정확하게는 되지 않는다. 또 엄지나사가 정확하더라도 엄지나사의 축과 공작물을 고정하고 있는 주축을 연결하는 톱니바퀴가 불량할 경우에는 올바른 나사가 만들어질 수 없게 된다. 톱니바퀴를 만드는 경우에도 근본이 되는 엄지톱니바퀴가 정확하지 않으면 좋은 톱니바퀴는 만들 수 없다. 이상과 같이 오차가 생기는 원인에는 여러 가지가 있다. 평균
가끔 너무 큰 값이나 너무 작은 값이 들어있는 등 부정확한 값에 의해 자료가 오염될 수 있다. 이럴 때 절단평균을 사용한다. 이 평균은 데이터에서 가장 큰 값이나 작은 값 쪽을 "잘라내고" 산술평균을 낸 것을 의미한다. 일반적으로 잘라내는 양쪽 범위는 같게 한다. 잘라낸 값의 숫자는 전체 자료 수에 대한 백분율로 표시한다. 근 찾기 알고리즘
일반적으로 고차방정식의 근은 정확하게 계산될 수 없으므로 폐구간에서 근 찾기 알고리즘은 부동 소수점 수 또는 좁혀진 구간에서 표현된 해로서 오차 추정이 가능한 근사해를 제공하는 유용한 방법이다. 오차 방정식
그러면, 방정식은 직교 진폭 변조
심볼 오류율은 아래의 식으로 정의된다 항력
항력 방정식은 근사식일 뿐이며, 어떤 경우에 있어서는 오차가 클 수도 있는 식이라는 점에 유의하여야 한다. 따라서 이 식을 사용하기 위한 가정을 할 때는 주의를 기울여야 한다. 띠틈
띠계산의 국소 밀도 근사 (LDA)에서 띠틈은 실험값과 비교하면 항상 과소평가되어 실험값과 일치하지 않는다. (예: 실리콘 띠틈의 실험값은 1.17 eV 이며 이것은 LDA에서 띠틈은 0.4 ~ 0.5 eV 정도가 되어서 항상 과소평가되지만, 물질종류에 따라서 그 정도는 다르다.) 근삿값의 순서
공식적으로는 n번째 근삿값이 오류값 규모의 비교에 따른다. 적합한 상황에서는 테일러 다항식에 따라서 함수를 예측한다. 절댓값 (대수학)
비아르키메데스 절댓값 formula_17을 갖춘 체 formula_25에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 formula_25의 formula_17에 대한 정수환()이라고 한다. 이분법 (수학)
만일 해 구간의 양 끝 점이 하나라도 사용되었으며, 오차의 최댓값의 절댓값은 해 구간의 전체 길이인 아래와 같다. 극값
헤세 행렬에서 그림과 같이 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 formula_83가 양의 정부호이고 음과 양이 번갈아서 나올 경우 음의 정부호이다. 즉, 이차 도함수 판정법에 따라서 부분 행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 formula_41에서 극소이고 부분행렬들의 행렬식이 음과 양이 반복될 경우 formula_41에서 극대이다. 만약 두 경우 모두 아니라면 임계점 formula_41는 안장점으로 극대이지도 극소이지도 않다. 측정
오차를 완전히 없앨 수는 없다. 또 오차를 작게 하려면 그에 비례해서 수고와 비용이 많이 들게 된다. 따라서 될 수 있는 한 큰 오차를 허용하도록 하는 편이 유리하다. 그러나 허용할 수 있는 오차에는 한도가 있으므로 용도에 따라서 그 범위가 제한된다. 감합규격은 그와 같은 목적에 이용된다. 톱니바퀴나 나사인 경우 접촉하고 있는 치면, 나사산 면의 반대쪽에 반드시 틈새가 있다. 이 틈새는 '백래시(back lash)'라 불리는데, 백래시가 없으면 원활한 운동을 할 수 없다. 톱니바퀴나 나사가 완전히 이상적으로 만들어졌다면 백래시는 불필요한 것이지만, 실제로는 톱니나 나사산의 형태라든가 각도에 오차가 있으며, 톱니와 톱니의 간격(피치)도 고르지 않기 때문에 필요하게 된다. 톱니바퀴인 경우 이 줄기 방향으로 오차가 있으면 끝면에 가까운 부분만이 접촉되는 현상이 생긴다. 이를 피하기 위해 톱니바퀴의 양 측면에 가까운 부분을 약간 깎아서 잇줄의 가운데가 약간 튀어나오게 만드는데, 이것을 크라우닝(crowning)이라고 한다. 이처럼 실제로 만들어진 제품에 오차가 있게 마련인 것을 전제로 하여 이 오차의 영향을 피하는 수단을 강구한다. 절댓값
복소수의 절댓값은 곱셈·나눗셈을 보존한다.
복소수 절댓값 함수는 멱등 함수이며, 회전 대칭과 반사 대칭을 만족시킨다. 특히, 실수 절댓값 함수는 짝함수이다. 가격제한폭
가격제한폭이 15%일때, 상한가가 5번이면 주가는 약 2배가 되고, 하한가가 4번이면 주가는 약 절반이 된다. 오차 방정식
오차방정식 formula_5의 다섯 근을 formula_6라고 하면,
다항 방정식에서 근과 계수와는 다음의 관계가 성립한다.
formula_9
또한, 분기 절단법
이 시점에서 분기 한정법을 시작한다. 이 문제는 두 가지로 나눌 수 있다. 구해야 할 변수가 중간 결과값보다 큰 정수 중에서 가장 작은 정수값 이상이라는 추가 제약 조건이 있는 경우하고, 중간 결과값보다 작은 정수 중에서 가장 큰 정수값 이하인 경우이다. 여기서 원래의 제약 조건에 따르면 정수가 되어야 하지만 중간 결과에서는 정수값이 아닌 기본 변수의 수에 따라서 새로운 변수들을 도입한다. 이 새로운 선형 계획 문제를 심플렉스법으로 풀고, 이 과정을 해가 모든 정수 제약 조건을 만족할 때까지 반복한다. 분기 한정법을 푸는 도중 또다른 절단 평면으로 나눌 수 있는 경우가 있다. 이 절단 평면은 "전역 절단면" 즉, 모든 정수해에 유효한 절단면이거나 "지역 절단면" 즉, 현재 고려하는 분기 한정 부분트리에 적용되는 제약 조건을 만족하는 해에 유효한 절단면이다. 부호 (수학)
절댓값은 기하학적으로는 원점으로부터의 거리를 말하며, 실수에 있어서는 수의 부호를 제거하는 개념이다. 부호가 제거된 수는 보통 양부호를 지닌 것으로 간주된다. 예를 들면 -3의 절댓값은 3이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.
부호함수는 수의 부호를 판별하는 함수다. 실수 "x"에 대해서 이 함수는 다음과 같이 정의된다.
위에서 "x"가 양수이면 sgn("x")은 +1이 되고, "x"가 음수이면 sgn("x")은 -1이 된다. "x"가 0이 아닌 경우 이를 다음 식과 같이 정의할 수도 있다. 나눗셈 정리
이제 몫과 나머지의 유일성을 증명하자. 두 정수 formula_1 (formula_2)에 대하여, formula_42가 몫과 나머지의 조건을 만족시킨다고 가정하자. 즉,
위의 조건에 따라
인데, 양변을 formula_9로 나눈 뒤 절댓값을 취하면
이므로, formula_48이며, 윗 윗 식에 대입하면 formula_49이다. 즉, 몫과 나머지는 항상 유일하다.이 나눗셈 정리는 사실 가우스 정수 Z[i] := {a + bi|a, b∈Z}에서도 성립한다. 구체적으로 말해,
보다 일반적으로, 정역 중 나눗셈 정리의 위 조건과, 가우스 정수에서 성립하는 다음 조건,
의 둘을 만족하는 형태의 절댓값 함수가 존재하는 것을 유클리드 정역(ED)이라 한다. 정수환의 확장에서 이러한 함수는 노름(norm)이라 불리는데, 위의 Z[i] 및 Z[√-2], Z[√2], Z[√3]은 모두 유클리드 정역이다. 임의의 체는 유클리드 정역이며, 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역(PID)이다. 반치전폭
그림에서와 같이, 어떤 함수가 formula_1에서 최댓값 formula_2를 가진다고 하자. 이때 formula_3, formula_4에서 함수의 값이 최댓값의 절반으로 감소한다면, 근계
근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.
formula_57이므로,
이다. 즉, formula_59는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다. 극값
예를 들어, 이변수 함수 formula_133이고 formula_80함수일 경우 만약 formula_135에서 극소라면 다음과 같은 조건들을 만족한다.
마찬가지로 formula_135에서 극대라면 다음과 같은 조건들을 만족한다.
그리고 formula_135가 이 조건들을 만족하지 않는 임계점이라면, 즉, formula_135에서 formula_149라면 formula_135는 안장점이다. 추정량
표본 formula_7에 대한, 모수 formula_3의 추정량 formula_9의 오차()는 다음과 같다.
모수 formula_3의 추정량 formula_9의 편향()은 그 오차의 기댓값이다.
모수 formula_3의 무편향 추정량() formula_9은 편향이 0인 추정량이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 추정량이다.
추정량 formula_9의 누적평균제곱오차()는 오차의 제곱들의 기댓값이다. 유효숫자
x를 x의 근삿값이라 할 때 formula_1이면 x는 x를 k자리 유효숫자로 근사한다고 한다. 여기서 k는 0이 아닌 가장 큰 정수이다. 파동 함수
파동 함수 formula_8의 절댓값의 제곱 formula_1 은 물체를 발견할 확률과 비례한다. 따라서 formula_1 를 모든 공간에 대해 적분했을 때 0 또는 무한대의 값이 나올 수는 없다. 만약 formula_15. 이면 입자는 존재하지 않고, 이 적분은 모든 범위에서 이루어지므로 무한대일 수는 없다. 또한 formula_1 은 정의에 의해서 음수나 복소수가 될 수가 없다. 따라서 formula_1 는 유한한 양이어야 한다. 신발끈 공식
꼭짓점들에 반시계방향으로 차례로 번호를 매긴다면, 위의 행렬식은 양의 값을 지니므로 절댓값 부호를 생략할 수 있다. 번호가 시계방향으로 차례로 매겨진다면 행렬식은 음의 값을 지니게 된다. 이는 신발끈 공식을 그린 정리의 특수한 경우로 볼 수 있기 때문이다. 절댓값
정역 위의 절댓값은, 정역에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, 양의 정부호성을 만족시키며, 곱셈을 보존하며, 삼각 부등식을 만족시키는 함수이다. 모든 체는 정역이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 정역 위의 절댓값의 특수한 경우이다. 모든 정역 위의 절댓값 formula_54는 표준적인 거리 함수 formula_55를 유도한다. 기댓값 최대화 알고리즘
확률이 0이 아닌 formula_38를 만족하는 어떤 formula_2에 대해서, 다음과 같이 이야기할 수 있다:
formula_41를 formula_2에 대해서 합한 값(혹은 적분한 값)을 양변에 곱할 수 있다. 좌변은 상수인 기댓값이므로:
여기에서, formula_44는 음수의 합(negated sum)으로 정의된다.
마지막 식은 formula_45인 경우를 포함해서 모든 formula_36에 대해서도 성립한다.
이전의 식으로부터 이 마지막 식을 빼면,
이다.
하지만, 깁스 부등식(Gibbs' inequality)에 의해서 formula_49이다.
그러므로, 우리는 다음 결론에 도달할 수 있다:
그러므로, formula_51에 비해서 formula_34가 커지도록 formula_36을 선택하면, 최소한 그 이상으로 formula_54에 비해서 formula_33가 향상될 것이다. 직교 진폭 변조
오류율을 측정하는데 있어 아래와 같이 정의한다: 표준 편차
표준 편차(標準 偏差, )는 자료의 산포도를 나타내는 수치로, 분산의 양의 제곱근으로 정의된다. 표준편차가 작을수록 평균값에서 변량들의 거리가 가깝다. 절댓값
복소수의 절댓값은 0 이상이다.
복소수의 절댓값은 양의 정부호성을 만족시킨다.
복소수의 절댓값은 삼각 부등식을 만족시킨다.
실수의 절댓값을 포함하는 몇 가지 실수 부등식의 해는 다음과 같다. 극값
만약 formula_151이라면 이차 도함수 판정법만으로는 극대와 극소를 판별할 수 없는데, 이때 formula_151인 임계점을 퇴화 극점 또는 변질 극점이라고 말한다. 반대로 이차 도함수 판정법으로 극대, 극소, 안장점인지의 여부를 판별할 수 있는 formula_153인 임계점을 정상적인 임계점 허용 오차
위에서 ε의 단위는 비율이다. 편향-분산 트레이드오프
우리는 실제 관계함수인 formula_7를 학습 알고리즘을 통해 최대한 잘 근사한 근사함수 formula_8를 찾고자 한다. 여기에서 말하는 "최대한 잘"이란 정량적으로 formula_9 와 formula_8 사이의 평균 제곱 오류(mean squared error)를 측정하여 그 값이 가장 작은 것을 찾는 것을 말한다. 얻어진 근사함수가 트레이닝 데이터 셋 내부의 평균제곱오차 뿐만이 아니라 외부로 일반화 된 범위에서도 평균제곱오차가 최소라면 이상적일 것이다. 하지만 formula_9에 formula_5라는 노이즈가 내재된 만큼 우리가 어떤 함수를 찾아내든 오차는 불가피하다. 고속 역 제곱근
함수 formula_34에 대한 formula_35에서의 접선
의 formula_4절편은 formula_38보다 방정식 formula_39의 해에 근접하며, 이 값을 다시 formula_38에 대입하여 방정식의 해를 근사할 수 있다. 위의 단계는 이 방법에 대한 신뢰할 만한 초깃값을 제공하여 함수 formula_41에 대한 formula_42에서의 접선 절댓값 (대수학)
정역 formula_1 위의 절댓값은 다음 조건들을 만족시키는 함수 formula_2이다.
정역 formula_1 위의 절댓값은 그 분수체 formula_10 위로 다음과 같이 확장할 수 있다.
절댓값을 갖춘 정역 formula_12 위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다. 허용 오차
위의 계산식들은 표본 크기에 비해 모집단 크기가 매우 커서 모집단 크기가 허용 오차에 주는 효과를 무시할 수 있을 경우에 해당한다. 그러나 그렇지 않은 경우에는 허용 오차를 계산할 때 formula_5을 곱해야 한다. 올림
올림은 근삿값을 구하는 방법 중 하나이다. 근 (수학)
위와 같이 일차방정식의 근은 x의 계수가 실수일때는 항상 실근을 가지기에 실수좌표계에서 일차함수와의 관계를 명료하게 나타내는데 유용하다. 그러나 이차방정식의 근은 x의 계수가 모두 실수임에도 불구하고 허근을 갖는 경우가 있어, 이 경우는 실수 좌표계에서 점으로 나타낼 수없다. 즉, 이차함수와 이차방정식의 관계를 명료하게 나타내는데 어렵다. 따라서 고등수학과정에서 이차함수와 이차방정식의 관계는 단순히 이차함수와 x축의 위치관계만 간단히 다루는것도 실수좌표계는 허수를 점으로 표현할 수 없다는 이유에서이다. 방정식의 근은 복소수의 범위에 국한되지않고 매우 넓을 수 있다는 가능성을 보여줄 수 있는 증거이기도하다. 근판정법
의 값을 1과 비교하여 수렴성을 판단할 수 있다. 자세히 말해,수열 의 극한이 존재한다면, 를 극한으로 대신할 수 있다. 중간값 정리
구간에 정의된 실숫값 연속 함수
의 치역 formula_27은 구간이다. 특히, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수
의 치역 formula_29은 끝점이 최솟값과 최댓값인 닫힌구간이다. 즉, 편차
표준 편차(standard deviation)는 분산을 제곱근한 것이다. 제곱해서 값이 뻥튀기 된 분산을 제곱근해서 다시 원래 크기로 만들어준다. 평균
평균은 편차 제곱의 합이 최소가 되는 유일한 값이다. 중심성향을 평균이 아닌 다른 방식으로 측정하는 경우, 편차 제곱의 합을 구해 보면, 평균을 썼을 때 구한 값보다 크다. 이는 왜 통계 보고서에서 보통 평균과 표준편차를 인용하는지를 설명해 준다. 분산
어떤 실수의 제곱은 0 이상이므로 만약 분산이 존재한다면 그 값은 음수가 될 수 없다. 분산의 단위는 확률변수를 나타내는 데 사용된 단위의 제곱이 되어야 한다. 예를 들면 센티미터로 잰 높이 집단의 분산은 제곱센티미터가 될 것이다. 이것은 여러 가지 불편을 유발하므로 많은 통계학자들은 집단과 같은 단위를 사용하는 표준편차를 주로 쓴다. 선형 근사
이다. 이는 실제값인 를 소숫점 다섯째 자리에서 반올림 한 값이다. 즉, 참값에 상당히 근접함을 알 수 있다. 질권
은행과 상인 사이에 예를 들면 2년간에 최고 100만원까지를 융자한다는 당좌 대월계약(여신계약)이 체결되면 일정한 기간과 금액의 최고 한도 내에서 은행은 상인의 수요에 응하여 자금을 대출한다. 이러한 장래의 대출금의 반환의무를 당초에 담보하기 위하여 설정된 질권을 근질(根質)이라 한다(357조 참조). 복소수
복소수 formula_41의 극형식(極形式, )은 다음과 같다.
여기서 formula_47를 절댓값, formula_48를 편각이라고 한다. 절댓값은 복소수와 원점 사이의 거리와 같으며, 편각은 복소수와 원점의 연결선과 formula_43축의 사잇각과 같다. 통계학
중앙값 절대 편차(median absolute deviation)는 관측값에서 중앙값을 빼고, 그 차이에 절대값을 취한 값들의 중앙값을 구한다. 조건수
e를 b의 오차라고 하자. A는 정사각행렬이라 하고, formula_2 의 오차는 formula_3 라고 하자. b의 상대오차에 대한 해의 상대오차비율은 측정
일상생활에 흔히 쓰이는 물품 중 전구·필름·나사 등은 같은 종류의 것이라면 국내의 어디에서든 그대로 쓸 수 있다. 낡은 전구와 새 전구 사이에서는 정확히는 동일 치수가 아니지만 어떤 정해진 치수 범위 안에 들도록 만들어져 있기 때문이다. 이처럼 서로 바꿀 수 있는 성질을 호환성이라고 하며 공업의 발달에는 매우 중요한 사항이다. 서로 맞춰지는 암과 수의 부분품, 가령 암나사와 수나사 등에는 각각에 허용되는 오차가 국가규격(KS)으로 정해져 있다. 이 규격은 감합규격이라고 불린다. 가령 직경 40 mm의 구멍에 H7이라는 기호로 표시되는 감합 치수를 지시하면, 이것은 40.000 mm에서 40.025 mm까지의 범위로 구멍을 뚫으면 된다는 것을 의미하며, 이것과 짜맞추는 축에 G6이라는 지시를 하면 축은 39.975 mm에서 39.991 mm까지 사이로 만들면 된다. 구멍과 축을 짜맞추면 최소 0.009 mm, 최대0.050 mm의 틈새가 생겨서 빡빡하지도 않고 헐겁지도 않을 한쌍의 축과 축받이가 만들어지는 것이다. 보통의 톱니바퀴의 치면은 인벌류트라고 하는 곡선으로 마무리되는 것이 정상인데 잘못 제작하면 이 곡선이 제대로 잡히지 못할 수도 있으며 치면이 거칠고 요철이 생기거나 한다. 이처럼 오차가 큰 톱니바퀴를 서로 맞물리면 격심한 진동이나 소음이 생기게 된다. 이런 경우 역시 오차가 문제가 되는 경우이다. 극값
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음 조건을 만족시키는, formula_3의 근방 formula_4가 존재한다면, formula_5를 formula_6의 극대점이라고 하며, formula_7를 formula_6의 극댓값이라고 한다.
마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는, formula_3의 근방 formula_4가 존재한다면, formula_5를 formula_6의 극소점이라고 하며, formula_7를 formula_6의 극솟값이라고 한다.
또한, formula_3가 다음 조건을 만족시키면, formula_5를 formula_6의 최대점이라고 하며, formula_7를 formula_6의 최댓값이라고 한다.
마찬가지로, formula_3가 다음 조건을 만족시키면, formula_5를 formula_6의 최소점이라고 하며, formula_7를 formula_6의 최솟값이라고 한다.
또한, 위의 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값의 정의에서 formula_33인 경우에 한하여 부등호 formula_34와 formula_35를 formula_36와 formula_37로 대신하면, 엄격한 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값(嚴格한..., )의 정의를 얻는다. 허용 오차
ε: 오차 범위(허용 오차, margin of error). "여론 조사 결과 신뢰 수준 95%에 지지도가 38±3%로 나왔다"와 같은 식으로 오차 범위를 퍼센트(백분율)로 표기하려면 ε에 100을 곱해준다. 근관 치료
근관장(working length)이란 근관치료의 작업길이를 뜻하며 근관치료의 범위를 결정하는 기준이 된다. 근관장은 치아의 교두정(cusp tip)에서 근단공(apical foramen)의 가장 좁은 부위까지의 거리를 말하며, 근관장을 본래의 길이보다 짧게 측정시 나머지 부분의 세균을 제거하지 못하고, 길게 측정시 기구가 근관의 끝 이상을 넘어가 치주조직에 손상이 가해진다. 절댓값 (대수학)
대수학 및 대수적 수론에서, 절댓값(絶對값, )은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다. 측정
가령 둥근 직경 40.00 mm를 목표로 하여 원통이 되게끔 가공했다고 하자. 그런데 가공 후에 원통의 중앙에서 직경을 재었더니 40.05 mm였다면 목표 수치 40.00 mm와는 0.05 mm 차이가 난다. 실제 측정한 값, 즉 측정치와 목표치와의 차를 '오차'라 한다. 이 오차에는 측정의 오차와 가공의 오차가 포함되어 있다. 가령 눈금이 0.01 mm마다에 매겨진 정확한 측정기가 있다면, 눈금과 눈금 사이는 목측(目測)으로 절반 이상을 절상하고 절반 이하는 잘라 버리며 읽으니 40.05 mm로 읽은 수치는 사실 40.04500… mm보다 크고 40.0549… mm보다 작다고 하는 것을 보여 주고 있을 뿐으로서, 0.01 mm 폭의 애매성을 포함하고 있는 것이다. 실제 값(참된 값이라고 한다)은 완전한 측정기가 없는 한 알 수가 없지만 측정의 오차는 절상, 또는 잘라 버린 반 눈금인 0.005 mm보다 작은 것은 확실하다. 그뿐 아니라 측정기의 눈금은 인간이 가공해서 만든 것이므로 여기에 가공의 오차가 가산된다. 그 오차는 일반적으로 한 눈금의 절반 이하인데, 이것을 가미하면 측정오차는 0.01 mm를 넘지 않는 정도가 되며 참값은 40.040 mm에서 40.0599… mm 사이에 존재하게 된다. 참값은 분명치 않지만 가령 40.046 mm였다고 가정하면 목표치로부터의 편차 0.046 mm는 가공의 오차라고 할 수 있다. 허용 오차
원하는 오차 범위(허용 오차) ε이 나오기 위해서 필요한 표본 크기(sample size) n을 계산할 수 있다. 표본이 클 수록 오차는 작아지지만, 조사 비용이 늘어난다. 절댓값 (대수학)
겔판트-토른하임 정리(Гельфанд-Tornheim定理, )에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 체는 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다. 편각 (수학)
어떤 0이 아닌 복소수 formula_1의 편각 formula_2은 다음과 같이 정의된다.
여기서
는 formula_5의 절댓값이다. 즉,
이다. 이는 음의 실수에 대하여 분지절단을 가한 경우다. 절댓값 (대수학)
데데킨트 정역 formula_1가 주어졌을 때, formula_1의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 formula_52에 대하여 formula_52진 절댓값() formula_54은 formula_1 위의 절댓값이며, 다음과 같다.
이는 물론 formula_57 위의 절댓값으로 확대할 수 있다. 베르누이 수
formula_28일 경우 리만 제타 함수는 극을 갖지만, 이 경우 다음과 같이 극한을 취할 수 있다.
따라서, 스털링 공식에 따라 짝수차 베르누이 수의 절댓값에 대하여 다음과 같은 점근 공식이 성립한다. 역 오일러 방법
역 오일러 방법은 다음을 사용하여 근사치를 계산한다
이것은 (일반적인) 오일러 방법과는 formula_13 대신에 formula_14. 표준 오차
표본 표준 편차 s를 이용하여 근사값으로 구하기
formula_7 길이
실제 직선 위에 있는 두 점 사이의 거리는 두 점의 좌표의 차이의 절댓값과 같다. "x"와 "y"가 실제 직선 위의 두 점이라고 하면, 두 점 사이의 거리는 다음과 같다. 절댓값 (대수학)
정역 formula_1 위의 절댓값 formula_17에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값()이라고 한다.
비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값()이라고 한다. 절단오차
실제 절대오차는 0.216×10이고, 나머지 공식에 의한 오차의 한계는 0.217×10이다. 통계학
표본 표준 편차(sample standard deviation) s는 표본의 표준 편차이다. 표본 분산 s에 제곱근을 씌워서 구한다.
평균 절대 편차(average absolute deviation 또는 mean absolute deviation)는 관측값에서 평균을 빼고, 그 차이값에 절대값을 취하고, 그 값들을 모두 더하여 전체 데이터 갯수로 나눠준 것이다. 절대값 편차의 평균이라고 생각하면 된다. 이분법 (수학)
이분법은 단일한 근의 추정위치를 가르쳐주기 보다는 오직 해가 존재하는 폐구간만을 결과로 제공한다. 따라서 다른 정보가 없을 때의 가장 좋은 근의 추정값은 찾아본 해 구간 중 가장 작은 해 구간의 중간 값이 된다. 이럴 경우, 이분법을 "n"번 반복하였을때 오차의 절댓값은 아래의 값과 같다. 기댓값 최대화 알고리즘
기댓값 (E) 단계에서는 formula_10가 주어지고 새로운 formula_3를 사용할 때 가능도의 기댓값 formula_12를 정의한다. 이 때 기댓값을 취하는 확률분포는 formula_1, formula_10가 주어졌을 때 formula_2의 조건부 분포이다. 절사평균
절사평균이란 편차가 큰(극단치가 존재) 자료의 경우, 산술평균이 적합하지 않으므로, 자료의 총 갯수에서 일정비율만큼 가장 큰 부분과 작은 부분을 제거 후 평균을 산출한다. 예를 들면 10% 절사 평균이란 자료의 총 수(n)에서 10%를 제외하므로, 상위 5%, 하위 5%까지 위치한 값까지 삭제한 뒤, 산술평균을 구한다. 만약 표본의 크기가 20인 표본집단의 경우의 10% 절사평균이라면, 20개×10%인 총 2개를 제외하며, 순서상 상위 1개, 하위 1개를 제외한 18개 표본의 산술평균을 구하는 것이다. 근계
특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 formula_28 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 formula_29로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 formula_30 또는 formula_31이다.) 분산
확률론과 통계학에서 어떤 확률변수의 분산(分散, , )은 그 확률변수가 기댓값으로부터 얼마나 떨어진 곳에 분포하는지를 가늠하는 숫자이다. 기댓값은 확률변수의 위치를 나타내고 분산은 그것이 얼마나 넓게 퍼져 있는지를 나타낸다. 분산보다는 분산의 제곱근인 표준편차가 더 자주 사용된다. 기브스 표집
기브스 표집은 변수를 하나씩 바꾸어가며 표본을 수집하기 때문에, 중간 상태의 확률이 작을 경우 올바른 근사를 위해 많은 표본이 필요하다는 단점이 있다.
가령 0과 1의 두 값을 갖는 변수 두 개에 대한 확률 분포 formula_27에 대하여, formula_28과 formula_29의 값은 높지만 formula_30과 formula_31의 값이 작을 경우,
formula_32에서 formula_33를 표집하기 위해서는 formula_34이나 formula_35을 먼저 지나쳐야 하지만 이들의 확률이 작기 때문에 표본이 적을 경우 잘 표집되지 않을 수 있다.
특히 formula_30과 formula_31이 0일 때에는 표집이 불가능한데, 이것은 기브스 표집이 가정하는 마르코프 연쇄의 정상 성질이 깨지기 때문이다. 원주율
조르주루이 르클레르 드 뷔퐁이 제기한 뷔퐁의 바늘 문제는 원주율의 근삿값을 구하는 경험주의적인 방법으로 거론된다. 길이가 L인 바늘을 일정 간격으로 그린 평행선에 떨어뜨린다고 가정해 보자. 이 때 평행선의 간격 S가 바늘의 길이보다 크다고 하면, 바늘을 떨어뜨린 횟수 n번에 대해 바늘이 평행선 밖으로 나간 횟수 x번(단, x>0)에는 몬테카를로 방법에 의해 다음과 같은 관계가 있다.
즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 떨어뜨리는 횟수가 매우 많아지면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 바늘을 떨어뜨린 전체 횟수의 비는 원주율에 근사한다. 이차 방정식
복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실근 (실수인 근)과 허근 (허수인 근으로, 보통 소문자 formula_8로 표기한다.)을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다. 선형 근사
formula_14을 함수 formula_15의 formula_16에서의 선형 근사를 사용해서 근삿값을 구할 수 있다. 근계
기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(), 짧은 것은 짧은 근()으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 formula_29이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 formula_29로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) formula_30로 잡는다.) 원판 덮기 문제
정수 formula_1에 대해 단위원판을 덮을수 있는 formula_1개의 원판의 반지름으로 가장작은 실수formula_3 을 구하는 문제이다.
몇가지 값은 다음과 같다.
다섯 원판 문제는 단위원판을 덮을수 있는 formula_4개의 원판의 반지름으로 가장작은 실수 formula_5가 황금비의 역수인지를 논하는 문제이다. 원판이 정오각형의 꼭짓점에 있으면, 황금비의 역수가 된다. 더 작은 반례가 발견되었으며, 그 값은 약 0.609이다. 추정
2. 수학 용어 - 근삿값이나 추정은 일반적으로 쉽게 정확한 계산을 할 수 없는 수량의 상계와 하계를 찾는 것을 의미한다. 절댓값 (대수학)
절댓값을 갖춘 정역 formula_1는 거리 공간을 이루므로, 코시 열을 정의할 수 있으며, 이들은 각 성분의 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다. 절댓값들이 0으로 수렴하는 코시 열 formula_43들은 코시 열들의 환의 소 아이디얼을 이루며, 따라서 그 몫환은 정역을 이룬다. 이 정역을 formula_1의 절댓값 formula_17에 대한 완비화()라고 한다. 이는 거리 공간으로서의 완비화와 일치한다. 측정
측정의 오차이든 가공의 오차이든, 도저히 피할 수 없는 오차와 조심하면 피할 수 있는 오차가 있다. 우선 주의하면 피할 수 있는 것으로서는, 작업자의 과실로부터 오는 오차, 그리고 측정기·공작기계·공구의 적절하지 못한 사용에서 파생되는 오차 등이 있다. 측정기의 적절하지 못한 사용이란 필요 이상으로 큰 힘을 가한다든지 온도차가 큰 상태에서 측정한다든지 하는 경우로 측정물이 변형되어 오차가 생긴다. 가공의 잘못인 경우에는 적절한 절삭 조건을 선정치 않으면 공작물의 표면이 매끈하게 마무리되지 않고, 치수라든가 형상적인 오차가 생긴다. 도저히 회피할 수 없는 것으로서는 측정기구·공작기계 등의 분해능이라든가, 이것들이 원래부터 지니고 있는 오차이다. 측정
정도(精度)는 원래 측정 기술의 분야에서 쓰이는 개념이며, 측정으로써 얻어진 결과가 어느 정도 정확히 참된 값을 표시하고 있는가를 나타내는 것이다. 이것을 알기 쉽게 설명하면 다음과 같다. 즉 측정에 의해 얻어진 값과 참된 값은 일반적으로 똑같지 않으며, 전자에서 후자를 뺀 차이를 오차라 한다. 그러나 참된 값이란 것은 특별한 경우를 제외하고는 관념적인 것으로서 엄밀히 우리가 알 수 없다. 때문에 실제로는 보다 정확하다고 생각하는 값을 참된 값으로 간주하여 그로써 오차를 수량적으로 표시한다. 절댓값
노름은 벡터 공간에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, 양의 정부호성을 만족시키며, 양의 동차성을 만족시키며, 삼각 부등식을 만족시키는 함수이다. 실수체와 복소수체는 벡터 공간의 특수한 경우이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 노름의 특수한 경우이다. 모든 노름 formula_52는 표준적인 거리 함수 formula_53를 유도한다. 실수의 완비성
formula_88가 열린 구간이므로, formula_89는 구간의 끝점이 아니다. 따라서 formula_88의 양끝점과 formula_89와의 거리는 모두 양수이다. 그 가운데 가장 작은 하나를 formula_92이라고 하자. 그렇다면, formula_93이므로,
이게 되는 formula_59이 존재한다. 이는 formula_96가 formula_97의 덮개라는 의미이며, 이는 formula_97이 유한 부분 덮개를 갖지 않는다는 것과 모순이 된다. 평균 절대 편차
평균 절대 편차(average absolute deviation 또는 mean absolute deviation, AAD, MAD) 또는 평균 편차(mean deviation) 또는 절대 편차(absolute deviation)는 산포도의 하나로, 평균과 개별 관측치 사이 거리의 평균이다. 각 측정치에서 전체 평균을 뺀 절댓값으로 표시되는 편차의 산술평균을 말한다. 매우 크거나 작은 어느 하나의 값인 이상치로 인한 문제점을 보완할 수 있는 방법으로 사용되고 있다. 평균편차에는 모집단 평균편차와 표본 평균편차 두 가지 종류가 있다. 리만 합
이 적분 근사식의 오차는 관측값
관측값을 x, 최확값을 μ, 참값을 τ라고 하면 잔차(residual, ν), 편의(bias, β), 참오차(error, ε)을 정의할 수 있다. 잔차는 관측값과 최확값의 차이다.(ν=μ-x) 편의는 참값과 최확값의 차이다.(β=τ-μ) 참오차는 잔차와 편의를 합한 값이다.(ε=ν+β) 참오차 역시 참값과 마찬가지로 실제로 알 수 없는 가상의 값이다.