함수란?
복소해석학
일반적으로 복소함수란 독립변수와 종속변수가 모두 복소수인 함수를 말한다. 다시 말해 복소함수는 정의역과 치역이 복소평면의 부분집합인 함수로, 복소함수의 독립변수와 종속변수는 모두 실수부와 허수부로 나눌 수 있다. 함수
수학에서, 함수(函數, ) 또는 사상(寫像, )은 첫 번째 집합의 임의의 한 원소를 두 번째 집합의 오직 한 원소에 대응시키는 대응 관계이다.
함수
이선란은 저서 《대수학》()에서 오늘날 한국어 및 중국어에서 쓰이는 용어인 "함수"()를 최초로 사용하였다. 일본어에서는 "" 글자가 1946년 상용 한자 목록에 포함되지 않았으므로, 일본어에서 같은 음을 갖는 글자 "関"를 사용하여 "칸스우"()로 표기하게 되었다. 이선란은 《대수학》에서 함수를 변수를 포함하는 변수로 정의하며, 여기서 "함"()은 "포함"(包含)을 뜻한다. 즉, 지수 함수
formula_1를 양의 상수, formula_2를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때 formula_3로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 formula_4는 지수함수다. 자연로그의 역함수로 주어지는 지수함수는 formula_5 또는 formula_6와 같이 쓴다. 이때 formula_7를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 formula_8 역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 formula_2의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 formula_2축과 만나지 않지만, formula_2축에 점점 접근해간다. 주기함수
수학에서, 주기 함수(週期函數, )는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다. 계수
그 대상은 변수, 벡터, 함수 등과 같은 것들이 될 수 있다. 이 경우에 그 대상들은 같은 방법으로 지수화되는 데, 다음과 같이 표현된다:
여기서 "a"은 각각의 "n" = 1, 2, 3, …에서 변수 "x"의 계수이다. 허수
여기서 formula_1 꼴과 같이 실수 범위에서 전혀 구할 수 없는 해를 구하기 위해 무엇인가를 만들어야 할 필요성을 느낀다. 실수의 성질로는 불가능한 제곱해서 음수가 되는 수를 만들어내기위해 제곱하여 -1이 되는 수 formula_3를 만들어내면, 위의 이차방정식의 해는 formula_4또는formula_5이 되므로 이 수는 우리가 존재한다고 느끼는 수가 아님에도 불구하고, 이차방정식의 해가 되기 때문에 수학자들은 이 수가 수학적 가치가 있음을 인정하고 허수로 정의했고, formula_3만 있으면 모든 허수들을 나타낼 수 있으므로 이 수를 imaginary number의 앞글자를 따서 허수 단위 formula_7라고 정의했다. 대수함수
대수함수(代數函數, algebraic function)는 수학에서 다항식의 근으로 정의할 수 있는 함수이다. 대체적으로 대수함수는 한정된 수를 사용하는 대수식이고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 대수적 연산만을 동반한다. 이러한 함수의 예는 다음과 같다: 다가 함수
본래 명확히 정의된 함수는 y = f(x)에서 y값이 변수 x의 값에 단 한개만 대응하며 특별한 제한이 없는 함수를 말한다. 이런 점에서 엄격하게 다가함수는 함수로 취급하기에 적절하지 않다. 함수
예를 들어, formula_161와 formula_162의 합성은 formula_163이다. 극값
해석학에서, 함수의 극대점(極大點, )은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 극댓값(極大값, )은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 극소점(極小點, )은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, 극솟값(極小값, )은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 극점(極點, )이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값()이라고 한다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다. 함수 공간
함수 공간은 수학 용어로서 입력값 X의 집합에서 출력값 Y의 집합으로 연결할 수 있는 함수들의 집합을 의미한다. 이를 공간이라 정의하는 이유는 실제 적용시 위상 공간 혹은 벡터 공간 혹은 둘 다와 일치하기 때문이다. 수학
변화에 대한 이해와 묘사는 자연과학에 있어서 일반적인 주제이며, 미적분학은 변화를 탐구하는 강력한 도구로서 발전되었다. 함수는 변화하는 양을 묘사함에 있어서 중추적인 개념으로써 떠오르게 된다. 실수와 실변수로 구성된 함수의 엄밀한 탐구가 실해석학이라는 분야로 알려지게 되었고, 복소수에 대한 이와 같은 탐구 분야는 복소해석학이라고 한다. 함수해석학은 함수의 공간(특히 무한차원)의 탐구에 주목한다. 함수해석학의 많은 응용분야 중 하나가 양자역학이다. 많은 문제들이 자연스럽게 양과 그 양의 변화율의 관계로 귀착되고, 이러한 문제들이 미분방정식으로 다루어진다. 자연의 많은 현상들이 동역학계로 기술될 수 있다. 혼돈 이론은 이러한 예측 불가능한 현상을 탐구하는 데 상당한 기여를 한다. 초기하함수
formula_48는 지수 함수이다. 수론적 함수
정수론에서 수론적 함수(數論的函數, )는 모든 양의 정수에 대해 정의된 함수이며 복소수 함수값을 가질 수도 있다. 다시 말하면 수론적 함수는 복소수의 수열에 지나지 않는다. 가우스 함수
수학에서 가우스 함수()는 다음과 같은 형태의 함수이다.
여기서 formula_2는 실수 상수이다. 이 함수는 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 명명되었다. 해시 함수
해시 함수(hash function)는 임의의 길이의 데이터를 고정된 길이의 데이터로 매핑하는 함수이다. 해시 함수에 의해 얻어지는 값은 해시 값, 해시 코드, 해시 체크섬 또는 간단하게 해시라고 한다. 그 용도 중 하나는 해시 테이블이라는 자료구조에 사용되며, 매우 빠른 데이터 검색을 위한 컴퓨터 소프트웨어에 널리 사용된다. 해시 함수는 큰 파일에서 중복되는 레코드를 찾을 수 있기 때문에 데이터베이스 검색이나 테이블 검색의 속도를 가속할 수 있다. 예를 들어서, DNA sequence에서 유사한 패턴을 찾는데 사용될 수도 있다. 또한 암호학에서도 사용될 수 있다. 암호용 해시 함수는 매핑된 해싱 값만을 알아가지고는 원래 입력 값을 알아내기 힘들다는 사실에 의해 사용될 수 있다. 또한 전송된 데이터의 무결성을 확인해주는 데 사용되기도 하는데, 메시지가 누구에게서 온 것인지 입증해주는 HMAC를 구성하는 블록으로 사용된다. 해시 함수는 결정론적으로 작동해야 하며, 따라서 두 해시 값이 다르다면 그 해시값에 대한 원래 데이터도 달라야 한다. (역은 성립하지 않는다) 해시 함수의 질은 입력 영역에서의 해시 충돌 확률로 결정되는데, 해시 충돌의 확률이 높을수록 서로 다른 데이터를 구별하기 어려워지고 검색하는 비용이 증가하게 된다. 타원함수
복소해석학에서, 타원 함수(楕圓函數, )는 복소 타원 곡선 위에 정의된 유리형 함수이다. 즉, 복소평면 위에 정의된, 두 개 방향으로 주기함수인 유리형 함수다. 함수
함수 formula_16가 주어졌다고 하자. 만약 formula_1가
를 만족한다면, 이에 따른, 정의역과 공역은 뒤바뀌고, 대응 관계는 방향만 뒤바뀐 함수
가 존재한다. 이를 formula_1의 역함수이라고 한다. 역이 존재하는 함수를 가역 함수라고 한다. 어떤 함수가 가역 함수일 필요 충분 조건은, 전단사 함수라는 것이다. 지수 함수
formula_39 함수의 그래프
함수 formula_1를 정의하자. 그렇다면 formula_2의 그래프는 formula_3의 모든 원소 formula_4에 대해 formula_5을 모두 포함하는 formula_6의 부분집합이다. 기호로 나타낸다면 다음과 같다.
formula_9이라면 함수의 그래프는 formula_10의 곡선이고, formula_11라면 formula_12의 곡면이다. 그러나 formula_13이라면 그래프는 4차원 이상의 유클리드 공간에 존재하게 되는데, 이는 3차원상에서 이해하고 시각화하기 힘들다. 다변수 함수
수학에서, 다변수 함수(多變數函數, )는 둘 이상의 독립 변수를 갖는 함수이다. 보통 다변수 실함수와 다변수 복소함수를 가리킨다. 매끄러운 함수
해석학에서, 매끄러운 함수()는 무한 번 미분이 가능한 함수이다. formula_1 함수로 표기하기도 한다. 지수 함수
지수 함수(指數函數, )란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다. 비용함수
경제학에서, 비용함수는 어떤 생산량에서의 최소 생산비용을 대응한 함수이다. 이를 그림으로 나타낸 그래프를 비용곡선이라 한다. 고정 생산요소의 존재여부에 따라 장기와 단기 비용곡선을 나누며, 총비용함수 formula_1에서 한계비용함수와 평균비용함수를 유도한다.장기와 단기의 구분은 고정 생산요소의 존재 여부에 따라 결정된다. 단기의 경우에는 투입량을 변화시킬 수 없는 하나 이상의 고정 생산 요소가 존재하는 경우를 의미한다. 장기에는 모든 생산요소가 가변 요소인 경우이다. 따라서 장기 비용함수(Long-run cost function; LTC)의 경우 formula_5이 반드시 성립한다. 한편 단기 비용함수(short-run cost function)의 경우 고정 생산요소가 적어도 하나 이상 존재하기 때문에 생산량에 따라 비용이 변화하는 가변비용(variable cost)와 고정비용(fixed cost)의 합으로 결정되기 때문에 formula_6이 된다. 단기생산비용은 장기생산비용과 접하는 점을 제외하고는 항상 장기생산비용보다 크다. 상수 함수
환 formula_76 위의 왼쪽 가군들의 범주 formula_77는 영 대상을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다. formula_77에서 영 사상은 0(가군 덧셈의 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 가군 범주에서 상수 함수인 준동형은 영 사상밖에 없다. 고차 함수
형식화되지 않은 람다 대수에서 모든 함수들은 고차 함수이다. 대부분의 함수형 프로그래밍 언어를 파생시키는 형식화된 람다 대수에서 하나의 함수를 인수로 취하는 고차 함수들은 formula_1의 형태의 값이다. 지수 적분 함수
수학에서, 지수 적분 함수(指數積分函數, )은 특수 함수의 하나이며, formula_1의 역도함수이다. 로그
이 함수의 극한값과 실값이 같기 때문에, 연속의 정의에 따라 지수함수는 연속이라고 할 수 있다. 0보다 큰 "y"는 적당한 "x" 와 "x" 에 대해서 "f"("x")과 "f"("x") 사이에 존재한다. 따라서 "f"("x")="y"는 해를 가진다. 또한, 지수함수는 단조함수이기 때문에, 한 개의 "y"에 대하여 두 개 이상의 x값을 가질 수 없다. 따라서 "f"("x")="y"는 유일한 해 하나를 가지고, 우리는 이를 로그 함수라고 부른다. 매개변수 (컴퓨터 프로그래밍)
각각의 매개변수는 함수의 정의 부분에 포함되어 있는 고유한 특성이다. 예를 들어, (대다수의 언어에서는) 입력으로 들어온 2개의 정수를 더해서 합을 계산해 주는 함수의 경우 정수 형태의 매개변수 2개가 필요하다. 일반적으로 함수는 몇개의 매개변수를 가지든 상관없으며, 매개변수가 하나도 없을 수도 있다. 만약 함수가 매개변수를 가질 경우, 각각의 매개변수에 대한 정의를 나열해 놓은 것을 "매개변수 목록(parameter list)" 이라고 한다. 함수
만약 formula_1가 정의역의 서로 다른 원소를 항상 공역의 서로 다른 원소로 대응시킨다면, formula_1를 단사 함수 또는 일대일 함수라고 한다. 예를 들어, 함수
는 단사 함수이다. 그러나 각 자연수가 이를 2로 나눈 나머지로 대응되는 함수는 단사 함수가 아니다. 모든 홀수를 1, 모든 짝수를 0으로 대응시키기 때문이다. 함자 (수학)
함자의 개념은 대수적 위상수학에서 위상 공간에 대해 기본군 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 함자의 개념을 사용한다. 정수
수학에서, 정수(整數, )는 양의 정수(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... , n) 및 음의 정수(-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8...) 및 0으로 이루어진 수 체계이다. 수론의 가장 기본적인 연구 대상이다. 정수의 집합의 기호는 formula_1. 매개변수 (컴퓨터 프로그래밍)
종종 "매개변수(parameter)"와 "전달인자(argument)"는 적당히 섞어서 쓰이기도 하는데, 이 경우 문맥에 따라 의미를 달리해서 해석되기도 한다. 하지만 엄밀히 말해서 "매개변수"는 함수의 정의부분에 나열되어 있는 변수들을 의미하며, "전달인자"는 함수를 호출할때 전달되는 실제 값을 의미한다. 이같은 의미를 명확히 하기 위해 매개변수는 변수(variable)로, 전달인자는 값(value)으로 보는 것이 일반적이다. 함수형 프로그래밍
함수형 프로그래밍은 자료 처리를 수학적 함수의 계산으로 취급하고 상태와 가변 데이터를 멀리하는 프로그래밍 패러다임의 하나이다. 명령형 프로그래밍에서는 상태를 바꾸는 것을 강조하는 것과는 달리, 함수형 프로그래밍은 함수의 응용을 강조한다. 함수형 프로그래밍은 1930년대에 계산가능성, 결정문제, 함수정의, 함수응용과 재귀를 연구하기 위해 개발된 형식체계인 람다 대수에 근간을 두고 있다. 다수의 함수형 프로그래밍 언어들은 람다 연산을 발전시킨 것으로 볼 수 있다. 계수
수학에서, 계수(係數)는 어느 변수에 일정하게 곱해진 상수 인자이다. 예를 들어, formula_1 에서 계수는 formula_2 이고. formula_3 에서 계수는, formula_4 이다. (보통, 1은 계수에서 생략한다.) 허수
미국 수학에서 허수란 formula_11 형태, 즉 순허수이다. 즉 실수에 허수단위 formula_12가 곱해진 형식을 가지고 있고, 따라서 제곱하면 음수가 된다. 바닥 함수와 천장 함수
실수 formula_3의 정수 부분은 formula_9이며, 분수 부분은 formula_29이다. 예를 들어, 다음과 같다.
컴퓨터 과학에서는 정수 부분과 소수 부분을 조금 다르게 정의하기도 한다. 예를 들어, 다음과 같은 변형된 정수 부분 함수와 분수 부분 함수가 쓰인다. 함수
정의역이 복소수 집합 formula_73인 함수 formula_74를 복소변수 함수(複素變數函數, )라고 한다. 공역이 복소수 집합 formula_73인 함수 formula_76를 복소값 함수(複素-函數, ) 또는 복소함수(複素函數, )라고 한다. 복소변수 복소값 함수에 대해서도 주기 함수의 개념이 존재한다. 복소해석학
와 허수부를 나타내는 함수
로 나눌 수 있으며 이들 두 함수는 모두 "x" 와 "y"을 독립변수로 깆는 이변수 함수이다. 함수 (프로그래밍)
함수가 결과값을 반환하는 것 이외에 외부에 영향을 주는 작동을 할 경우 부작용이 있다고 부른다. 부작용이 없는 함수를 순수한 함수로 부르며, 하스켈과 같은 순수 함수형 프로그래밍에서는 모든 함수가 순수한 함수이다.비주얼 베이직은 함수를 성격에 따라 Sub와 Function으로 구분하는데, Sub은 독립적으로 프로그램에 접근하며 값을 반환하지 않으나 Function은 특정 값을 반환할 수 있다. Sub은 호출한다고 하며 Call()을 사용하고, Function은 값을 대입하도록 한다. Function형 함수에 특별히 자료형을 부여할 필요는 없다. 삼각함수
수학에서, 삼각함수(三角函數, )는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다. 함수
단사 함수와 전사 함수 사이에는 특별한 함의 관계가 존재하지 않는다. 예를 들어, 상술 formula_1는 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다. 또한, 상술 formula_64는 전사 함수이지만, 단사 함수가 아니다. 지수 함수
formula_14, formula_15이고, 지수 함수
이제 formula_51로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다. 현수 (위상수학)
formula_1가 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 formula_1의 현수 formula_3는 다음과 같은 몫공간이다.
여기서 formula_5은 표준적인 위상이 주어진 단위 폐구간이다. 즉, 곱공간 formula_6에서 양 끝 formula_7을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다. 만약 연속함수 formula_8가 존재한다면, 마찬가지로 자연스럽게 그 정의역과 공역의 현수들 사이의 연속함수
가 존재한다. 이에 따라, 현수는 위상 공간들과 연속 함수들의 범주 formula_11의 자기 함자
를 이룬다. 람다 대수
함수는 컴퓨터 과학과 수학의 기초를 이루는 개념이다. 람다 대수는 함수를 단순하게 표현할 수 있도록 하여 '함수의 계산'이라는 개념을 더 깊이 이해할 수 있게 돕는다. 바닥 함수와 천장 함수
실수 formula_3를 정수로 반올림한 값은 formula_120이다. 예를 들어, 다음과 같다.
컴퓨터 과학에서는 반올림의 여러 가지 변형이 사용되는데, 이들은 반정수의 경우를 달리 정의하며, 그 밖의 경우는 원래의 반올림과 일치한다. 원래의 반올림은 반정수를 비교적 큰 정수로 근사한다. 반정수를 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 formula_123이며, 반정수를 절댓값이 비교적 큰 정수로 근사하는 반올림은 formula_124이며, 반정수를 절댓값이 비교적 작은 정수로 근사하는 반올림은 formula_125이다. 또한, 최근 정수 함수(最近整數函數, )라고 불리는 다음과 같은 함수는 반정수를 짝수로 근사하는 반올림 함수이다. 함수해석학
함수해석학(函數解析學, )이란 벡터 공간과 연산자들에 대해 다루는 해석학의 한 분야이다. 역사적으로 함수 공간에 대해서 연구하기 시작한 것이 그 기원이며 특히 푸리에 변환, 미분 방정식, 적분 방정식에서 함수의 변환에 대한 연구들이 그 예이다. 함수해석학에서 큰 업적을 남긴 수학자로는 스테판 바나흐가
있다. 생산함수
생산함수(Production function)는 주어진 생산요소들의 투입량과 이러한 생산요소들을 가지고 최대로 생산할 수 있는 재화의 생산량의 관계를 나타내는 함수이다. 생산함수는 기업이나 국가가 가진 기술의 수준을 반영한다. 충실한 함자와 충만한 함자
범주론에서 충실한 함자(忠實-函子, )는 임의의 사상집합에 제한한 것이 단사 함수가 되는 함자를 말한다. 이것이 전사 함수인 경우에는 충만한 함자(充滿-函子, )라고 한다. 다가 함수
다가함수는 단사함수가 아닌 함수의 역함수를 유도할 때 발생한다. 역함수를 가지고 있지 않는 함수는 역함수 관계는 만족한다. 다가함수는 역함수 관계를 만족시기 적절하며 함수로 취급하면 편리한 경우가 많으므로 통상 '함수'라는 표현을 사용한다. 곱셈적 함수
곱셈적 함수가 아닌 함수의 예로는 "r"("n")가 있다. "r"("n")는 "n"을 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 가지수이며, 이때 덧셈의 순서도 구분한다. 즉, 일차 함수
수학에서, 일차 함수(一次函數, )는 최고 차수가 1 이하인 다항 함수이다. 즉, 그래프가 직선인 함수이다. 정비례 함수(正比例函數 )는 일차 함수에 상수항이 0이라는 조건을 추가한 특수한 경우이다. 즉, 그래프가 원점을 지나는 직선인 함수이다. 난수
의사난수를 생성하기 위해서는 변하는 입력(조건)과 함수 두 가지가 필요하다. 함수는 입력값을 이용한 계산을 통해 난수를 생성하는 역할을 하며, 입력값은 매번 다른 난수를 생성하기 위하여 매번 달라져야한다. 이 값을 다르게 하는 방법은 현재 시간을 얻어서 이용하는 방법 또는 이전 결과 값(난수 값)을 다시 입력으로 넣는 방법 등 다양한 방법이 있다. 상수 함수
정의역 formula_2와 공역 formula_3 사이의 함수 formula_4가 주어졌다고 하고, 정의역 formula_2에 위상 공간의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 formula_5를 국소 상수 함수(局所常數函數, )라고 한다. 뫼비우스 함수
수론과 조합론에서, 뫼비우스 함수(Möbius函數, )는 정수가 제곱 인수가 없는 정수인지 여부에 따라 분류하는 곱셈적 함수이다. 뫼비우스 반전 공식에 사용되며, 리만 가설과도 깊은 관계를 가진다. 기호는 formula_1. 매개변수
첫째, 일반식에서 문자의 값이 방정식족, 함수족에 포함된 원소를 결정하는 사용법위의 식에서 문자 "a","b"가 매개변수에 해당한다. 변수 "a","b"에 수를 대입함에 따라 특정한 방정식 (또는 함수)들이 만들어진다. "a","b"의 값에 따라, 즉 "a","b"를 매개로 하여 "x"의 값이나 "x","y" 사이의 관계가 결정된다는 의미이다.
대한민국 교과과정에서는 '상수'라고 표현하기도 한다. 이 외에도 부정소(indeterminate)라고도 한다. 함수형 프로그래밍
C++11에서는 다음과 같이 작성한다.
고계 함수(higher-order function)란, 함수를 다루는 함수를 뜻한다. 사실 함수형 언어에서는 함수도 '값(value)'으로 취급한다. 그러므로 정수 1이나 인수를 제곱하는 함수나 동등한 입장에서 다룰 수 있다. 정수를 함수의 인수로 전달할 수 있듯이 어떤 함수도 다른 함수의 인수로 전달할 수 있다. 마찬가지로 함수의 결과 값으로 정수를 반환할 수 있듯이 함수를 반환할 수도 있다. 곱셈적 함수
곱셈적 함수(Multiplicative function), 또는 곱산술함수는 어떤 수론적 함수(arithmetic function) formula_1가 다음과 같은 두 조건을 만족할 때를 가리킨다.
만약 모든 정수 formula_5와 formula_6에 대해 항상 formula_7를 만족한다면, 이 함수는 완전 곱셈적(completely multiplicative)이라고 한다. 지시 함수
수학에서, 지시 함수(指示函數, ), 정의 함수(定義函數), 또는 특성 함수(特性函數, )는 특정 집합에 특정 값이 속하는지를 표시하는 함수로, 특정 값이 집합에 속한다면 1, 속하지 않는다면 0의 값을 가진다. 기호 1이나 I로 표기되며 아래첨자로 나타내는 집합을 표시한다. 때로는 굵은글씨 또는 칠판 볼드체로 쓰인다. 함수
만약 formula_1가 동시에 단사 함수이자 전사 함수라면, formula_1를 전단사 함수 또는 일대일 대응이라고 한다. 예를 들어, 함수
는 전단사 함수이다. 함수
함수를 정의역과 공역을 생략하여 다음과 같이 표기하기도 한다.
구체적인 함수를 나타내는 방법은 여러 가지가 있다. 정의역의 원소가 유한 개일 경우, 각 원소가 공역의 어느 원소와 대응하는지를 표 따위에 열거하여 나타낼 수 있다. 함숫값을 구하는 공식이나 알고리즘이 존재한다면, 이를 통해 나타낼 수도 있다. 함수의 정의역과 공역이 모두 실수 집합이나 복소수 집합의 부분 집합이라면, 함수의 그래프를 통해 나타낼 수도 있는데, 직관적인 반면 정확성이 떨어질 수 있다.정의역이 formula_3, 공역이 formula_5인 함수 formula_16가 주어졌다고 하자. 함수 (프로그래밍)
함수의 개념은 컴퓨팅 머신이 이미 존재한 이후 어느 시점에서 발전하였다. 산술 및 조건 점프 명령은 일찍이 계획되었고 상대적으로 조금씩 변화해왔다. 그러나 프로시저 호출을 위한 특별한 명령들은 여러 해에 걸쳐 상당히 변화되고 있다. SSEM과 RCA 1802와 같은 최초의 컴퓨터들과 마이크로프로세서들은 단일 함수 호출 명령어가 없었다. 함수는 구현할 수 있었지만 프로그래머들이 호출 시퀀스(일련의 명령)를 각각의 호출 영역에 사용해야 했다. IBM 1620, 인텔 8088, PIC 마이크로컨트롤러와 같은 일부 매우 초기의 컴퓨터들과 마이크로프로세서들은 전용 하드웨어 스택을 사용하여 반환 주소를 저장하는 단일 명령 함수 호출을 갖고 있었으며, 이러한 하드웨어는 함수를 겨우 몇 번만 겹쳐 사용하는 것만 지원되었지만 반복적인 함수를 지원하였다. 유니박 I, PDP-1, IBM 1130과 같은 1960년대 중순 이전의 머신들은 일반적으로 호출 규약을 사용하여 명령 카운터를 호출된 함수의 최초의 메모리 지점에 저장하였다. 함수를 여러 번 임의로 겹쳐 사용하는 것을 지원하였지만 반복적인 함수를 지원하지는 못했다.
PDP-11(1970년)은 스택 푸시형 함수 호출 명령을 갖춘 최초의 컴퓨터들 가운데 하나이며, 이 기능은 임의로 겹쳐 함수를 사용하는 것과 반복적인 함수를 모두 지원한다. 열린 함수와 닫힌 함수
함수
는 (formula_54가 이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다. 매끄러운 함수
어떤 함수가 formula_2번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 연속일 경우, 그 함수를 formula_3 함수라고 부른다. 예를 들어, formula_4는 연속인 함수를 의미하며, formula_5는 연속 미분 가능한 함수, 즉 미분 가능하고 도함수가 연속 함수인 함수를 의미한다. 층 (수학)
위상 공간 사이의 연속 함수가 주어지면, 이로부터 그 위에 존재하는 층들의 사상을 유도할 수 있다. 이는 함자를 이룬다. 구체적으로, 위상 공간 사이의 연속 함수 formula_113가 주어졌다고 하고, 위상 공간 formula_14 위의, 아벨 군 값을 가진 층과 층 사상들의 범주를 formula_71라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자들이 존재한다.
이들은 서로 수반 함자이다. 여기서 formula_149는 유도 범주, formula_150은 오른쪽 유도 함자를 나타낸다. 함수
1797년, 실베스트르 프랑수아 라크루아()는 저서 《미분과 적분에 대하여》()에서 수식으로 표현될 필요가 없는, 더 넓은 함수의 개념을 도입하였으며, 5차 방정식의 근이 5차 방정식의 계수의 함수라는 예시를 들었다. 1811~15년, 조제프루이 라그랑주는 저서 《역학 해석》()에서 "함수"라는 용어를 거의 모든 유형의 함수에서 사용하였다. 지수 함수
이때 formula_33는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 formula_34라고 표기한다. 범주론
이런 대응도 함수임에는 틀림 없지만 우리가 생각할 때는 위상공간 전체의 모임에서 군 전체의 모임으로 한꺼번에 대응시키므로 뭔가 새로운 말을 만들 필요가 있었다.(사실 이런 대상 전체의 모임이 집합이 되기에는 너무 크다는 것도 다른 용어의 필요성을 제기했다.) 그래서 이런 어떤 구조를 갖는 대상 전체의 모임 (위상공간의 모임, 군의 모임, 등등)을 범주(category)라고 부르고, 두 범주사이에 대응을 대응관계(functor)라고 부르기로 하였다. 그런데 호몰로지 이론을 잘 들여다 보면 이 대응관계만 알면 이 이론의 결과를 얻게 된다는 것을 알 수 있었다. 즉 우리는 범주의 여러 성질을 알아내는데 그 성질은 대응관계가 다 가지고 있다는 것이다. 여기서 집합론으로 돌아가 보아도 마찬가지 사실을 알 수 있다. 어떤 집합의 성질에 대하여 알고 싶은데 이 집합의 원소는 전혀 보지 않고 이 집합에서 나오고 들어가는 함수들 전체의 합성관계만 다 알면 이 집합의 집합으로서의 성질을 다 알 수 있다는 사실을 알게 되면서 집합과 원소의 성질을 결정하는 것은 원소 자신이 아니라 함수라는 새로운 사실이 중요한 사실로 대두되었다. 조건수
수치해석 분야에서 함수의 조건수(condition number)는 argument에서 의 작은 변화의 비율에 대해 함수가 얼마나 변화할 수 있는지에 대한 argument measure이다. 여기서 "함수"는 문제의 해를 의미하며, "argument"는 문제에서의 데이터를 의미한다. 작은 조건수를 갖는 문제를 "well-conditioned"라고 하며, 큰 조건수를 갖는 문제를 "ill-conditioned"라고 한다. 조건수는 문제의 고유한 성질이다. 함수
함수 formula_16의 공역과 함수 formula_148의 정의역이 같다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 formula_149를 두 함수 formula_1와 formula_64의 합성이라고 한다.
즉, 먼저 formula_3의 원소를 formula_1에 따라, formula_1의 공역이자 formula_64의 정의역인 formula_5의 원소에 대응시키고, 다시 이를 formula_64에 따라 formula_160의 원소로 대응시킨다. 열린 함수와 닫힌 함수
함수
는 전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다. 함자 (수학)
‘’라는 단어는 원래 철학자 루돌프 카르나프가 1934년에 언어철학에 대한 저서 《언어의 논리적 구문》()에서 정의한 용어다. ML (프로그래밍 언어)
팩토리얼 함수의 첫 번째 줄은 이 함수의 자료형을 표시하는 부분이다. ML은 코드로부터 자동으로 변수와 함수의 자료형을 추론하므로 이 부분은 없어도 무방하다. 첫 번째 줄은 ""함수 fac" (fac)"의 자료형은" (:) "정수에서 정수로 가는" (fn: int -> int) "함수이다."" 와 같이 해석할 수 있다. 따라서 이 함수는 정수를 인자로 받아 또 다른 정수를 반환하는 함수이다. 지수 함수
formula_50 벡터 함수
벡터 함수(Vector function)는 점 formula_1에서 다음과 같은 형태로 주어지는 함수를 말한다. 부정적분
함수 formula_1 (formula_2)가 주어졌을 때, 만약 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_3 (formula_2)가 존재한다면, 이를 formula_1의 원함수(原函數, ) 또는 역도함수(逆導函數)라고 한다.
함수 formula_1 (formula_2)의 한 원함수 formula_3가 존재할 경우, formula_1의 모든 원함수는 정확히 다음과 같다.
이를 formula_1의 부정적분이라고 한다. 여기서 formula_13는 임의의 상수이며, 이를 적분 상수라고 부른다. 부정적분이 항상 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선 임의의 상수 formula_13에 대하여, formula_15이므로, formula_16이다. 즉, formula_17는 formula_1의 원함수이다. 또한 임의의 원함수 formula_19에 대하여, formula_20이므로, 평균값 정리에 따라 formula_21는 상수 함수이다. 따라서 formula_19는 formula_23 꼴로 나타낼 수 있다. 매개변수
매개변수(媒介變數), 파라미터(parameter), 모수(母數)는 수학과 통계학에서 어떠한 시스템이나 함수의 특정한 성질을 나타내는 변수를 말한다. 일반적으로는 θ라고 표현되며, 다른 표시는 각각 독특한 뜻을 지닌다. 함수의 수치를 정해진 변역에서 구하거나 시스템의 반응을 결정할 때는 독립변수는 변하지만 매개변수는 일정하다. 다른 매개변수를 이용해 함수의 다른 수치를 다시 구하거나 시스템의 다른 반응을 볼 수도 있다. 함수 포인터
함수 포인터 (function pointer)는 3세대 프로그래밍 언어(PL/I, 코볼, 포트란, dBASE dBL, 그리고 C)와 객체 지향 프로그래밍 언어(C++과 D)에서 지원되는 포인터의 한 종류이다. 공역 (수학)
현대적 관점에서, 함수는 정의역과 공역 및 이들 사이의 관계(그래프)로 구성된다. 즉, 그래프가 같더라도 공역이 다르다면 두 함수를 다른 함수로 간주한다. 지수 함수
"a"가 음이 아닌 실수, "x"가 임의의 실수일 때, "a"를 밑, "x"를 지수로 하는 지수함수를 "a" 로 쓴다.
특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이 함수는 "a"의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다. 범함수
수학에서 범함수(functional)는 함수들의 집합을 정의역으로 갖는 함수이다. 선형범함수와는 유사하지만 약간 다른 개념이다. (모든 선형범함수가 범함수는 아니다.) 현수 (위상수학)
현수와 마찬가지로, 밑점을 보존시키는 연속함수 formula_20가 주어지면, 밑점을 보존시키는 연속함수
가 존재한다. 이에 따라, 축소 현수는 점을 가진 공간들과 점을 보존시키는 연속 함수들의 범주 formula_22의 자기 함자
를 이룬다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 고리 공간 함자 formula_24이다. 바닥 함수와 천장 함수
수학과 컴퓨터 과학에서, 바닥 함수()는 각 실수 이하의 최대 정수를 구하는 함수이다. 천장 함수(天障函數, )는 각 실수 이상의 최소 정수를 구하는 함수이다. 바닥 함수는 내림 함수 · 버림 함수 · 최대 정수 함수(最大整數函數, )라고도 하며, 천장 함수는 올림 함수 · 최소 정수 함수(最小整數函數, )라고도 한다. 휴리스틱 함수
휴리스틱 함수(heuristic function)는 가용한 정보를 기반으로 각 분기 단계에서 어느 한 분기를 선택하기 위해 사용하는 다양한 탐색 알고리즘의 대안 함수이다. 함수 (프로그래밍)
함수(function), 서브루틴(subroutine), 루틴(routine), 메서드(method), 프로시저(procedure)는 소프트웨어에서 특정 동작을 수행하는 일정 코드 부분을 의미한다. 함수 (프로그래밍)
함수는 대부분의 프로그래밍 언어에서 지원하는 기능으로, 하나의 큰 프로그램을 여러 부분으로 나누어주기 때문에 같은 함수를 여러 상황에서 여러 차례 호출할 수 있으며 일부분을 수정하기 쉽다는 장점을 가진다. 초등함수
수학에서, 초등 함수(初等函數, )는 대수 함수와 지수 함수와 로그 함수에 사칙 연산 및 함수의 합성을 가하여 만들 수 있는 일변수 함수이다. 함수
두 함수 formula_16와 formula_173가 다음 조건을 만족시키면, 서로 일치한다고 한다.
두 함수 formula_16와 formula_173가 서로 일치한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 formula_189를 formula_1와 formula_64의 합집합이라고 한다.
마찬가지로, 쌍마다 일치 함수족 formula_194의 합집합을 다음과 같이 정의할 수 있다.
물론, 함수의 합집합은 서로 일치하지 않는 경우에도 이항 관계로서 정의할 수 있으며, 이 이항 관계가 함수일 필요충분조건은 일치성이다. 역함수
함수 formula_1가 주어졌을 때, 함수 formula_2가 다음 조건을 만족시키면, formula_3의 왼쪽 역함수(-逆函數, )라고 한다.
마찬가지로, 함수 formula_6가 다음 조건을 만족시키면, formula_3의 오른쪽 역함수(-逆函數, )라고 한다.
함수 formula_1의 역함수 formula_11는 formula_3의 왼쪽 역함수이자 오른쪽 역함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
역함수를 갖는 함수를 가역 함수(可逆函數, ) 또는 일대일 대응 또는 전단사 함수라고 한다. 전단사 함수가 아닌 함수의 경우에도, 그 함수의 정의역이나 공역을 줄여 전단사 함수가 되게 한 다음 역함수를 정의할 수 있다. 역삼각 함수는 바로 이러한 방법으로 정의된다. 미분
수학에서, 미분(, 微分) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서의 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량의 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수이다. 어떤 함수의 미분 계수를 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 x의 증분에 대한 함숫값 ƒ(x)의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때의 그 일정한 값 즉, 함수에서 변수 x값의 변화량에 대한 함숫값 ƒ(x)의 변화량의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때의 그 일정한 값 dy/dx로 나타낸다. 함수 문제
계산 복잡도 이론에서 함수 문제란 판정 문제가 아닌 문제들, 다시 말해서 답이 예/아니오보다 복잡한 문제들이다. 이를테면, 외판원 문제나 소인수 분해 문제는 답이 인수의 목록으로 나온다. 일반적으로 함수 문제는 판정 문제보다 다루기 힘들다. 모듈러 형식
모듈러 형식(modular形式, )은 수학에서 특정한 종류의 함수 방정식과 증가 조건을 만족하는, 상반 평면 위에서 정의되는 (복소) 해석함수이다. 따라서 모듈러 형식의 이론은 복소해석학에 속하지만 역사적으로는 정수론과 긴밀한 관계에 있어왔다. 모듈러 형식은 대수적 위상수학이나 끈이론 등의 다른 분야에도 나타난다. 범프 함수
이 함수는 정의를 보면 콤팩트 지지 함수임을 알 수 있다. 이 함수의 실선은 유계 지지 함수이며 닫힌 지지함수일 경우에만 콤팩트 지지 함수이다. 이 함수가 매끄러움을 증명하려면 비 해석적 매끄러운 함수의 함수와 같은 과정을 거친다. 이 함수는 단위 디스크에 맞게 축적시킨 가우스 함수formula_4로 해석될 수 있다: formula_5로 치환하여 "x" = ±1로 갈 때 "y" = ∞으로 대응 시키는 것 이다. 항등 함수
수학에서, 항등함수(恒等函數, ), 또는 항등사상(恒等寫像, ), 항등변환(恒等變換, ), 단위변환(單位變換), 항등관계(恒等關係, )는, 어떤 변수도 자기 자신을 함숫값으로 하는 함수 formula_1이다. 함수 (프로그래밍)
일부 프로그래밍 언어에서는 함수와 서브루틴을 구분하기도 한다. 파스칼이나 포트란과 같은 언어는 반환값이 없는 경우를 서브루틴, 반환값이 있는 경우를 함수로 부른다. 반면 C 등의 언어에서는 함수와 서브루틴이 동의어이다. 함수
만약 formula_1가 공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소를 대응시킨다면, (즉, 치역이 공역과 같다면,) formula_1를 전사 함수 또는 위로의 함수라고 한다. 예를 들어, 함수
는 전사 함수이다. 함자 (수학)
범주론에서 함자(函子, )는 두 범주 사이의 함수에 해당하는 구조로, 대상을 대상으로, 사상을 사상으로 대응시킨다. 함자는 작은 범주의 범주의 사상으로 볼 수 있다. 재귀함수
재귀(再歸, Recursion)는 수학이나 컴퓨터 과학 등에서 자신을 정의할 때 자기 자신을 재참조하는 방법을 뜻한다. 주로 이 방법은 함수에 적용한 재귀 함수(Recursion Function)의 형태로 많이 사용된다. 또 사진이나 그림 등에서 재귀의 형태를 사용하는 경우도 있다. 초등함수
모든 상수 함수, 항등 함수, 멱함수, 다항 함수, 유리 함수, 삼각 함수, 역삼각 함수는 초등 함수이다. 또한,
는 초등 함수이다. 그러나 오차 함수
는 초등 함수가 아니다. 지수 함수
함수 formula_12에서