미분이란?
미적분학
미분은 특정 함수의 어떤 지점에서의 접선, 혹은 접평면을 구하는 연산이다. 다시 말하면, 미분은 원래는 복잡한 함수를 선형근사해서 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 파악하려는 것이다. 그렇기 때문에 미분은 선형사상이 된다.(단, 다변수 함수의 미분을 선형사상으로 취급하는 방식은 20세기에 들어서부터 확립됐다.) 미분방정식은 이런 사고의 자연스러운 연장 선상에 있다. 미분 (동음이의)
미분은 함수의 도함수, 또는 이를 구하는 과정이다.
미적분학
중세 시대에는 인도에서 미적분학의 기초가 다져졌다. 14세기 인도 수학자 마다바(Mādhava of Sañgamāgrama)와 케랄라 학파(Kerala school of astronomy and mathematics)가 테일러 급수, 무한급수의 근사법, 수렴에 대한 적분판정법, 미분의 초기형태, 비선형 방정식 풀이를 위한 방법, 곡선 아래부분이 차지하는 넓이가 적분값과 같다는 이론 등 미적분을 위한 많은 요소들을 기술하였다. 복소수 미분 형식
미분기하학에서, 복소수 미분 형식(複素數微分形式, )은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다. 편미분
벡터 미적분학과 미분기하학에서, 편미분(偏微分, )은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 표기
는 변수 formula_2에 대한, 함수 formula_3의 편미분을 뜻한다. 표기
등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다. 미분 등급 대수
미분 등급 대수는 formula_2의 모노이드 대상이다. 가환 미분 등급 대수(可換微分等級代數, , CDGA)는 formula_2의 가환 모노이드 대상이다. 이들의 범주를 각각 formula_5 및 formula_6이라고 표기하자. 백분율
백분율(百分率, ) 또는 퍼센트()는 수를 100과의 비로 나타내는 방법이다. 비율에 100을 곱한 값이며 기호는 %이다. 예를 들어 45.1%는 0.451을 나타낸다. “프로센트”()를 줄여 프로라고도 한다. 미분 (주요 부분)
미적분학에서 함수의 미분(微分, )은 함수의 증분의 주요 선형 부분이다. 일반적으로 도함수가 존재하는 일변수 함수 formula_1의 증분 formula_2는 다음 관계를 만족한다. 전미분
벡터 미적분학에서, 전미분()은 다변수 함수의 모든 변수의 변화에 따라 변화하는 행태를 근사하는 양이다. 즉, 전미분은 다변수 함수의 증분의 주요 선형 부분이다. 변수 하나의 변화만을 생각하는 편미분과 달리, 모든 변수의 변화를 더불어 생각한다. 미분 (동음이의)
미분에는 다음과 같은 뜻도 있다. 적분
미적분학, 특히 적분은 수학의 역사에서 비교적 최근에 발전한 학문으로 꾸준히 확장되고 있다. 사분음
사분음(四分音, )이란 온음의 절반인 반음을 다시 반으로 나눈 음정을 뜻한다. 미분
미분은 여러 분야의 여러 문제에서 응용된다. 미분을 통해 함수의 단조성·극값·볼록성을 판정할 수 있다. 미분계수는 함수의 선형 근사의 계수이며, 고계미분계수는 함수의 테일러 급수의 계수에 나타난다. 미분 형식
formula_5차원 매끄러운 다양체 formula_6 위에 방향 및 formula_5차 미분 형식 formula_57가 주어졌다면, formula_57의 적분
을 정의할 수 있다. 구체적으로, formula_6의 좌표근방계 formula_61 및 이에 종속되는 단위 분할 formula_62가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 formula_63으로서 각 formula_64에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 formula_5차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형
을 정의할 수 있다. 그렇다면
이다. 여기서 formula_68는 formula_5차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 formula_70배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다. 적분
한편, 데카르트가 제시한 좌표 평면과 해석기하학의 출현은 미적분학이 발전하는 중요한 밑거름이 되었다. 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 각자 독자적으로 미적분학을 수립하였으며 적분은 결국 미분의 역산으로 역도함수를 구하는 것과 같다는 점을 발견하였다. 이를 미적분학의 기본정리라고 한다. 미분음음악
미분음음악(微分音音樂)은 반음으로 나눈 평균율 (1옥타브를 12음)보다 더 작은 음으로 나눈 음계를 사용하는 음악이다. 해리 파치의 43음 음계 등이 있다. 단위 분할
미분기하학에서, 단위 분할은 유클리드 공간 위의 함수에 대하여 정의되는 성질들을 매끄러운 다양체 전체로 짜깁기하기 위하여 쓰인다. 예를 들어, 부피 형식의 적분을 정의하려면, 다양체의 좌표근방계에 종속되는 단위 분할을 찾아서, 각 단위 분할을 국소 좌표계를 사용하여 유클리드 공간으로 보내어 정의한다. 그 뒤, 이 정의가 좌표근방계의 선택 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보여야 한다. 광분
광분(光分, light-minute)은 길이의 단위이다. 1광분은 빛이 완전한 진공 속을 1분 동안 나아가는 거리로, 구체적인 값은 17,987,547,480미터(약 18Gm)이다. 광분은 광초에 기반하여 산출되는 값이기 때문에 앞의 값은 정확하다. 완전 미분 방정식
완전 미분 방정식()이란 상미분 방정식의 한 형태로 물리학이나 공학에서 많이 사용한다. 미분 리 대수
리 대수 이론에서, 미분 리 대수(微分Lie代數, )는 어떤 쌍선형 이항 연산에 대한, 곱의 법칙을 따르는 미분 연산들로 구성된 리 대수이다. 대략, 이 대수 구조의 무한소 자기 동형을 나타낸다. 유리수
유리수는 두 정수의 비율이므로, 나눗셈 기호와 의미가 같은 분수 기호를 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1과 3의 비를 분수로 나타내면 이다. 분자와 분모를 동시에 그 공약수로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 약분이라고 한다. 분자와 분모가 서로소이어서 더 이상 약분할 수 없는 분수를 기약 분수라고 한다. 예를 들어, 을 최대 공약수 6으로 나눠 약분하면 기약 분수 을 얻는다. 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수, 작지 않은 분수를 가분수라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 대분수라고 한다. 예를 들어, 의 대분수 표현은 1이다. 미분
몇 가지 기본적인 실수 초등 함수의 (자연 정의역에서의) 미분은 다음과 같다. 다항식
미분 분수 (수학)
분자와 분모가 양의 정수일 때, 만약 분자가 분모보다 작다면 진분수(眞分數, , )라고 한다. 예를 들어, , , 은 진분수이다. 만약 분자가 분모보다 크거나 같다면 가분수(假分數, ) 또는 거꿀분수(-分數)라고 한다. 예를 들어, , , 은 가분수이다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠
라이프니츠는 아이작 뉴턴과 같이 무한소를 사용한 계산법(미분과 적분)을 발명했다고 알려졌다. 라이프니츠 공책을 보면 그가 처음으로 y = f(x)의 그래프 밑의 면적을 계산하는데 적분계산법을 도입한 날이 1675년 11월 11일이라는 것을 알 수 있다. 라이프니츠는 이 날 지금도 쓰는 표기법 몇 개를 만들었는데, 그 예로 라틴어 similis의 S를 길게 늘인 적분기호, 라틴어 differentia에서 유래한 미분기호 d가 있다. 이 제안이 그의 가장 큰 수학적 업적이다. 미적분학에서 곱셈 법칙은 현재 “라이프니츠의 법칙”으로 불리고, 적분 기호 안에 있는 함수를 어떻게 미분해야 되는지 설명한 이론은 라이프니츠의 적분 규칙이라고 불린다. 분 (각도)
분(分)은 각도를 재는 단위이다. 1분은 1도를 60등분한 각도이다. 외대수
미분기하학에서는 접다발의 각 올인 접공간에 각각 외대수를 취하여 얻는 벡터 다발의 단면을 미분 형식이라고 한다. 미분 형식은 현대 미분기하학에서 핵심적인 위치를 차지한다. 미적분학
formula_139이다. 이것을 이용하여 삼각함수의 미분을 할 수 있다. 삼각함수들의 미분은 다음과 같다. 치환 적분
미적분학에서, 치환 적분(置換積分, )은 기존의 변수를 새 변수로 치환하여 적분하는 기법이다. 분분
분분 (, BUNBUN) 리만 적분
닫힌구간 formula_1의 분할(分割, )은 유한 집합 formula_2이다. 편의상 그 원소들을 다음과 같이 표기한다.
이는 닫힌구간 formula_1를 내부가 쌍마다 서로소인 닫힌구간 formula_5들로 분할하는 방법에 대응한다. 닫힌구간 formula_1의 분할 formula_7의 태그()는 분할된 각 구간의 대표 원소들로 구성된 튜플 formula_8이다. 또한, formula_7의 메시() formula_10는 분할된 구간들의 최대 길이이다. 즉, 다음과 같다.
닫힌구간 formula_1의 두 분할 formula_13가 formula_14를 만족시키면, formula_15가 formula_7의 세분(細分, )이라고 한다. 즉, 이는 formula_15가 formula_7를 더 잘게 분할하여 얻을 수 있는지를 나타낸다. 또한, formula_7와 formula_15의 공통 세분 formula_21은 두 분할 모두의 세분인 분할 가운데 가장 잘지 않은 하나이다. 적분
일반적인 경우를 살펴보자. 구간 [a, b]에서 적분 가능한 함수 formula_3의 임의의 두 부정적분을 formula_32, formula_52라 하자.
formula_53 라 하자. 구간 formula_54에 속하는 임의의 formula_55에 대하여, 함수 formula_56에 평균값의 정리를 적용하면
를 만족하는 c가 구간 (a, x)에 존재한다. 그런데
이므로
이다. 즉 H(x) = H(a)이다. 구간 (a, b]에 속하는 임의의 x를 택하였으므로, 구간 [a, b]에서 이 식이 성립한다. 즉, 구간 [a, b]에서 H(x)는 상수함수이다. 따라서 H(x) = k (k는 상수)라 할 수 있으므로
이다. 즉, 구간 [a, b]에서 두 함수 F(x)와 G(x)는 상수만큼 차이난다. 따라서 함수 f(x)의 임의의 부정적분 F(x)와 G(x)는 상수만큼 차이난다. 어떤 함수의 부정적분을 적분상수를 이용하여 표기하는 것이 정당함을 알 수 있다. 미분방정식
여기서 미주 (술)
미주(米酒)는 쌀로 만든 양조주이다. 쌀의 녹말을 분해(당화)하여 당분을 얻고, 이 당분을 발효하여 알코올을 얻는다. 녹말의 당화에는 주로 누룩곰팡이가 사용된다. 맥주의 제법과 유사한 점이 많으나 맥주는 녹말의 당화에 누룩곰팡이가 아닌 몰트를 이용한다는 점이 다르다. 전통적으로 동아시아, 동남아시아, 남아시아에서 주로 생산되고 소비되었다. 미주는 일반적으로 18~25%의 알코올을 포함하고 있다. 타이완에서 미주(米酒)는 증류주를 가리킨다. 미분
미분 가능 함수 formula_33 (formula_34는 구간)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 점 formula_69에 formula_38의 formula_71에서의 미분(구간에 속하는 끝점의 경우 좌미분 또는 우미분) formula_72를 대응시키는 함수를 생각할 수 있다. 이 함수를 formula_38의 도함수라고 하거나, 똑같이 미분이라고 한다. 즉, formula_38의 도함수 formula_75는 다음과 같은 함수이다.
함수 formula_38의 미분의 기호는 formula_75, formula_80, formula_81 등이 있다. 미적분학
콜린 매클로린(Colin Maclaurin)을 포함한 다수의 수학자들이 무한소의 사용이 정당하는 것을 증명하려고 시도했지만 그것은 150년이 지나서야 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스에 의해서 증명됐고 무한소의 의미가 극히 작은 값이라는 관념을 막을 방법을 찾았다. 이것이 미분과 적분을 위한 기초를 놓았다. 코시의 필기에서 무한소의 형태로 적혀진 연속의 정의와 극한의 (ε-δ) 정의의 원형 등의 기초에 접근하기 위한 다양한 방법을 찾을 수 있다. 코시의 업적에서 바이어슈트라스는 극한의 정의를 공식화 시키고 무한소의 개념을 없애버린다. 바이어슈트라스의 작업에 따라서 미적분학은 무한소가 아닌 극한에 기초하는 것이 일반적이게 됐다. 베른하르트 리만은 바이어슈트라스의 개념을 사용해서 적분의 정확한 개념을 만들었다. 그리고 이 발견의 기간 동안 미적분학의 아이디어들은 유클리드 공간과 복소평면에서 일반화됐다.
현대 수학에서 미적분학의 기초는 미적분학의 정리에 대한 완전한 정의와 증명들을 포함하는 실해석 분야에 포함되어 있고 미적분학의 범위는 엄청나게 확대됐다. 앙리 르베그는 측도론을 만들어서 거의 모든Pathological function에서 적분을 가능하게 했다. 로랑 슈바르츠는 어떤 함수도 미분시킬 수 있는 분포 이론을 만들었다. 미적분학
미분과 적분은 완전히 별개의 개념이지만, 밀접한 연관성을 갖는다. 변수가 하나인 경우, 하나가 나머지의 역연산이 된다. 이를 미적분학의 기본정리라고 부른다. 완전 미분 방정식
이다. 분수 (수학)
분자와 분모에 동시에 같은 0이 아닌 수를 곱하면, 분수의 값이 변하지 않는다. 예를 들어, 분수 는 동시에 2를 곱하여 얻는 와 같으며, 동시에 3을 곱하여 얻는 과도 같다. 직관적인 관점에서, 전체를 2등분하여 1조각을 취하는 것과 4등분하여 2조각을 취하는 것과 6등분하여 3조각을 취하는 것은 당연히 같다. 또한, 분수의 곱셈을 생각하면, 분자와 분모에 동시에 formula_31을 곱하는 것은 그 분수에 formula_32을 곱하는 것과 같으므로, 원래의 분수를 결과로 한다.
반대로, 분자와 분모에 동시에 같은 0이 아닌 수로 나눠도 분수의 값은 변하지 않는다. 이에 따라, 분자와 분모가 동시에 같은 0이 아닌 정수의 배수라면, 동시에 그 정수로 나눠 분자와 분모를 더 작게 만들 수 있다. 이를 약분(約分, )이라고 한다. 두 분수가 같을 필요충분조건은 하나를 약분하여 다른 하나를 얻을 수 있는 것이다. 예를 들어, 은 분자와 분모를 동시에 2로 나눠 로 약분할 수 있으며, 다시 6으로 나눠 로 약분할 수 있다.
분자와 분모가 서로소인 분수, 즉 분자와 분모의 양의 공약수가 1뿐인 분수를 기약 분수라고 한다. 예를 들어, 는 3과 9가 공약수 3을 가지므로 기약 분수가 아니며, 으로 약분될 수 있다. 그러나 의 경우 3과 8의 양의 공약수가 1뿐이므로 기약 분수이며, 이는 더 작은 분자와 분모를 갖는 분수로 약분될 수 없다. 특히 모든 단위 분수는 기약 분수이다. 분수를 기약 분수 꼴로 약분하려면, 분자와 분모를 동시에 이 둘의 최대 공약수로 나누면 된다. 예를 들어, 의 경우 36과 60의 최대 공약수가 12이므로, 12를 나눠 약분한 결과 는 기약 분수이다. 최대 공약수를 구하는 방법에는 단제법과 소인수 분해와 유클리드 호제법이 있다.
분모가 다른 두 분수를 분모가 같은 두 분수로 만드는 것을 통분(通分)이라고 한다. 이 원래의 분자와 분모의 곱을 새로운 공통의 분모로 취할 수 있으며, 원래의 분자와 분모의 최소 공배수를 취할 수도 있다. 예를 들어, 분수 와 의 경우, 의 분자와 분모에 동시에 12를 곱해 을 얻고, 의 분자와 분모에 동시에 8을 곱해 을 만들면 96 = 8 × 12을 공통 분모로 하는 통분이 완성된다. 또한, 8과 12의 최소 공배수 24를 공통 분모로 하여 통분하면 와 를 얻는다. 최소 공배수를 구하는 방법에는 단제법과 소인수 분해가 있으며, 두 수의 곱을 최대 공약수로 나눈 몫과 같기도 하다. 통분은 분수의 크기 비교 및 덧셈과 뺄셈에서 응용된다. 내분과 외분
기하학에서, 내분(內分)은 선분을 그 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 내분하는 점을 내분점(內分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 내분비(內分比)라고 한다. 이와 비슷하게, 외분(外分)은 선분을 그 연장선 위의 점을 경계로 하여 두 부분으로 나누는 일이다. 선분을 외분하는 점을 외분점(外分點)이라고 하며, 나눠진 두 부분의 길이의 비를 외분비(外分比)라고 한다. 천분율
천분율(千分率)은 수를 1000과의 비로 나타내는 방법으로, 퍼밀이라는 단위를 사용하며, 기호는 ‰이다. 해수의 염분의 농도, 철도의 경사(구배) 등을 나타낼 때 주로 사용한다. 색 (불교)
1개의 극미를 중심으로 동서남북 및 상하의 6방위로 6개의 극미가 모여서 이루어진 물질을 미(微) 또는 미진(微塵, )이라 한다. 즉, 1미진은 7개의 극미가 3차원적 구조로 모여서 이루어진 것이다. 미적분학의 기본정리
미적분학의 제1 기본 정리는 미분과 적분이 서로 역연산관계에 있다는 정리이다. 미분은 접선 문제에서, 적분은 면적 문제로부터 출발했지만, 이 정리는 전혀 관련이 없어보이는 두 문제가 매우 긴밀한 관계를 가지고 있음을 보여준다. 적분
임의의 함수 formula_3의 정의역 가운데 일부 구간 formula_7에 대한 적분은 구간 내의 치역이 모두 formula_8 이상일 때 해당 구간의 넓이와 같다. 치역의 일부 구간이 음수일 경우 formula_8 이상인 구간과 상계되어 엄밀한 의미에서 적분과 구간의 넓이는 동일한 개념은 아니지만, 적분의 개요를 이해하기 위해 여기서는 넓이를 구하는 방법으로서 적분을 다룬다. 미분 형식
미분기하학에서, 미분 형식(微分形式, )은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 formula_1, formula_2 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, formula_3차원의 다양체에서는 formula_3-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다. 미분
열린구간 formula_51에 정의된 함수 formula_52가 다음 조건을 만족시키면, formula_38를 formula_51에서의 미분 가능 함수라고 한다.
닫힌구간 formula_57에 정의된 함수 formula_58가 다음 조건들을 만족시키면, formula_38를 formula_57에서의 미분 가능 함수라고 한다.
비슷하게, 임의의 유형의 구간에서의 미분 가능 함수를 정의할 수 있다. 즉, 구간에서의 미분 가능 함수는 내부점에서 미분 가능하며, 구간에 속하는 왼쪽 끝점에서 우미분이 존재하며, 구간에 속하는 오른쪽 끝점에서 좌미분이 존재하는 함수이다. 리만 적분
항등 함수의 미분 대신 임의의 증가 함수의 미분소를 사용하면, 리만-스틸티어스 적분을 얻는다. 조르당 측도 대신 르베그 측도를 사용하면, 르베그 적분을 얻는다. 실수 함수의 예를 들면, 함수가 나타내는 영역을 '세로로' 잘게 쪼개 적분을 구하는 리만 적분과는 달리, 르베그 적분은 함수가 나타내는 영역을 '가로로' 잘개 쪼개 적분을 구한다. 미분
일반적인 함수 formula_18에 대하여, 증분(增分, )은 독립 변숫값의 변화량
및 함숫값의 변화량
을 뜻하는 용어이며, 평균 변화율(平均變化率, )은 두 증분의 비
를 뜻하는 용어이다. 미분 또는 미분 계수(微分係數, ) 또는 순간 변화율(瞬間變化率, )은 평균 변화율의 극한
을 뜻하는 용어이다. 여기서 극한 대신 좌극한을 사용하면 좌미분 또는 좌미분 계수(左微分係數)의 개념을 얻으며, 우극한을 사용하면 우미분 또는 우미분 계수(右微分係數)의 개념을 얻는다. 미분
수학에서, 미분(, 微分) 또는 도함수(導函數)는 어떤 함수의 정의역 속 각 점에서의 함숫값의 변화량과 독립 변숫값의 변화량의 비의 극한 혹은 극한들로 치역이 구성되는 새로운 함수이다. 어떤 함수의 미분 계수를 구하는 것을 의미하며 미분 계수는 독립 변수 x의 증분에 대한 함숫값 ƒ(x)의 증분의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때의 그 일정한 값 즉, 함수에서 변수 x값의 변화량에 대한 함숫값 ƒ(x)의 변화량의 비가 한없이 일정한 값에 가까워질 때의 그 일정한 값 dy/dx로 나타낸다. 적분
리만 적분은 주어진 구간에서 리만 합의 극한으로 적분을 정의한다. 폐구간 [a,b]는 다음과 같이 보다 작은 구간으로 분할 될 수 있다. 미분
뉴턴과 라이프니츠는 미분의 발견 공로를 놓고 오랫동안 다투었으며 이로 인해 유럽의 수학계는 둘 중 누구를 지지하는 가를 놓고 심한 대립을 보이기도 하였다. 뉴턴과 라이프니츠는 서로 상대방이 자신의 아이디어를 훔쳤다고 비난하였다. 이러한 대립은 라이프니츠가 사망한 이후에도 계속되었다. 오늘날에는 뉴턴과 라이프니츠가 각자 독자적인 방법으로 미분을 발견했다고 본다. 분대
해군에서의 분대는 영어로 division이라 한다. 분대원들의 규율을 유지하고 신상을 관리하는 등의 목적으로 편성된다.
분대장은 대위급(육군에 있어서는 중대장급)이 임명되며, 부분대장으로는 중위, 소위, 준사관 등이 임명된다. 미분 (주요 부분)
여기서 formula_4는 일계 도함수, formula_5는 formula_6가 0으로 갈 때의 무한소이다. 이로부터 formula_6에 대해 선형인 부분인 formula_8를 골라내어 함수 formula_1의 미분이라고 정의한다. 이때 함수 formula_10의 미분은 중적분
미적분학에서, 중적분(重積分, )은 정적분을 다변수 함수에까지 확장한 것이다. 이변수 함수의 경우를 이중 적분(二重積分, )이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 이중 적분은 함수의 그래프 곡면과 formula_1 평면 사이의 부피라고 이해할 수 있다. 삼변수 함수의 경우를 삼중 적분(三重積分, )이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 삼중 적분 역시 (4차원 공간 속의) 초곡면과 좌표 초평면 사이의 초부피라고 생각할 수 있다. 미적분학
두 미분가능한 연속 함수 formula_26와 formula_149에 대해서, 적분 구간이 formula_236 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다. 미적분학
그의 아이디어들은 뉴턴이 자신을 표절했다고 고소한 고트프리트 라이프니츠에 의해서 참된 무한소 미적분으로 체계화됐다. 뉴턴은 그를 표절자로 여겼지만, 현재는 그도 독립적인 미적분의 발명자라는 것이 밝혀졌다. 그는 무한소를 다루는 규칙들을 명확하게 정리했고 2계도 이상의 미분을 가능하도록 해줬으며 곱의 미분법과 연계법칙을 미분 적분 형태로 모두 만들었다. 미분방정식
미분 방정식(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 수학적 방정식이다. 미분방정식의 계수(order)는 미분 횟수가 가장 많은 독립 변수의 계수가 결정짓고, 차수(degree)는 계수를 결정 지은 독립 변수의 미분꼴이 거듭제곱된 횟수에 따라 결정된다. 수학 걸
비밀노트 5권 - 미분 따라잡기 미분 (주요 부분)
이러한 formula_18가 존재할 필요충분조건은 그 점에서 미분 가능, 즉 formula_25가 존재한다는 것이다. 미적분학
적분을 이끌어내기 위한 몇 가지 아이디어들은 고대에서부터 시작됐지만 이 시대의 방법들은 수학적으로 엄밀하지도 않고 체계적이지 않았다. 모스크바 수학 파피루스(Moscow mathematical papyrus)에서 적분의 목표 중 하나인 부피계산법들이 나와있으나 이것들은 방법으로서 설명이 부족하고 몇 가지는 틀렸다. 고대 그리스에서는 크니도스의 에우독소스(Eudoxus)가 극한의 개념과 비슷한 문제의 철저 검토법을 사용했고 아르키메데스는 이 방법을 발전시킨 발견적 교수법이라는 적분과 비슷한 방법을 만들었다. 중국에서는 유휘가 3세기에 원의 넓이를 구하기 위해 크니도스의 에우독소스와 같은 방법을 발명하였다. 미분 사상
φ : "M" → "N"를 매끄러운 다양체 사이에서 정의된 매끄러운 함수라 정의하자. "x" ∈ "M"가 주어졌을 때, formula_1을 "M"의 x에서의 접공간, formula_2을 "N"의 φ("x")에서의 접공간이라 정의하자. 그러면 φ의 "x"에서의 미분 사상은 다음과 같은 선형사상이다.
만약 접공간을 γ(0) = "x"가 성립하는 곡선들 중 특정 성질을 만족하는 동치류로 정의했다면, 미분 사상은 다음과 같이 된다. 제트 (수학)
무한 제트 다발 formula_75은 미분학적 공간()의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다. formula_75 위의 미분 형식 공간 formula_77에서, 차수 formula_78은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.
따라서,
가 된다. 이를 formula_84의 변분 이중 복합체(變分二重複合體, )라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분 formula_85 역시 수평 방향 formula_86와 수직 방향 formula_87로 분해할 수 있다.
이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다. 중동분
중동분(衆同分, , ) 또는 줄여서 동분(同分, )은 다음의 분류, 그룹 또는 체계의 한 요소이다.중동분에서 중(衆, )은 그룹(group), 부(部, sect), 류(類, division), 무리(class, assembly)를 뜻한다. 동분(同分, )은 공통된(common), 같은 류에 속한(being of the same division), 유사한(similar)을 뜻한다. 따라서 중동분의 문자 그대로의 뜻은 공통성', 유사성' 또는 '무리가 같은 류에 속한 것'이다. 미분기하학
미분기하학(微分幾何學, )은 기하학의 문제를 다루기 위해 미적분학, 선형대수학 그리고 다중선형대수학을 이용한 수학의 한 분야이다. 3차원 유클리드 공간에서의 평면, 곡면 그리고 곡선에 대한 이론들이 18세기와 19세기 동안 미분기하학의 발전의 기초가 되었다. 19세기 후반부터, 미분기하학은 매끄러운 다양체의 기하적 구조를 조금 더 일반적으로 다루는 한 분야로 성장했다. 미분기하학은 미분위상기하학과 긴밀히 연결되어 있고 기하학의 관점으로 볼때 미분방정식과도 관련이 있다. 리치 흐름()를 이용한 푸앵카레 추측에 대한 그리고리 페렐만의 증명은 위상기하학의 문제의 접근에서 미분기하학적 툴의 강력함을 보여주었으며 해석적 방법이 중요하다는 것을 다시한번 보여주었다. 특히, 곡면에 대한 미분기하학은 미분기하학의 특성에 대해 많은 이해와 기법의 단초를 제공한다. 미분
함수 formula_33 (formula_34는 구간)가 다음과 같은 formula_84중 극한 formula_85을 가진다면, 이를 formula_38의 formula_84계 도함수(formula_84階導函數) 또는 formula_84계 미분(formula_84階微分, )이라고 한다.
즉, 이는 다음과 같다.
이러한 formula_85 (formula_122)을 통틀어 formula_38의 고계 도함수 또는 고계 미분라고 한다. 상미분방정식
상미분 방정식(常微分方程式, , 약자 ODE)은 미분 방정식의 일종으로, 구하려는 함수가 하나의 독립 변수만을 가지고 있는 경우를 가리킨다. 이와 반대되는 개념은 여러 변수에 대한 함수를 편미분하는 형식을 취하는 편미분 방정식이다. 미분 (주요 부분)
따라서 함수의 미분은 그 점과 가까운 곳에서의 증가량을 근사하는 데에 사용된다: 미분
아이작 뉴턴과 라이프니츠는 각각 독자적인 방법으로 미분적분학을 수립하였다. 뉴턴은 기하학을 바탕으로 순간적인 변화량을 구하는 방법을 발견하고 이를 유율법()이라고 불렀다. 뉴턴은 유율법을 곡선에 대한 접선과 곡률의 견지에서 파악하였다. 뉴턴은 1687년 《자연 철학의 수학적 원리》에 유율법을 발표하였다. 한편, 라이프니츠는 함수 f(x)에서 x가 무한히 작은 증분인 미분()의 변화량을 가질 때 f(x)의 변화량을 구하는 방법으로서 미분을 발견하였다. 라이프니츠는 1677년 무렵에는 미분의 계산방법과 표기법을 완성하였다. 오늘날에는 보다 수학적으로 효율적인 라이프니츠의 방법이 주로 쓰인다. 불교 용어 목록/ㄷ
2. 동분(同分, )은 심불상응행법 가운데 하나인 중동분(衆同分, )의 줄임말이다. 미분
고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 도함수를 미분 계수를 통해 표기하였다. 이 표기에서, 도함수의 표기는 다음 가운데 하나이다.
또한, 점에서의 미분의 표기는 다음 가운데 하나이다.
또한, 고계 도함수의 표기는 다음 가운데 하나이다.
어떤 미분 법칙들은 라이프니츠 표기법으로 표기할 경우 더 기억하기 쉽다. 예를 들어, 연쇄 법칙을 다음과 같이 표기할 수 있다.
기호 formula_149의 의미는 문맥에 따라 다를 수 있다. 미적분학에서, 이는 선형 주요 부분을 뜻한다. 비표준 해석학에서, 이는 일종의 무한소로 정의된다. 미분기하학에서, 이는 외미분을 뜻한다. 미적분학
미적분학(微積分學, )은 수학의 한 분야로 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 다른 명칭은 "무한소 해석학"이다. 미적분학은 속도, 가속도 같은 일정하게 변하는 양들의 값을 구한다. 그 값들은 곡선의 기울기로 해석한다. 또 넓이, 부피, 길이 등은 곡선으로 제한된다. 여기서 "곡선"은 직선을 의미할 수도 있으므로 주의해야 한다. 또 극한을 구하는 과정을 유도하는 무한 과정 또는 궁극점(일반적으로 구하는 값)에 접근해 가는 것과 관련이 있다. 이 2가지 방법은 수학적 해석학의 토대가 되고 있다. 기하학이 모양(Shape)에 중심을 둔 학문이고 대수학이 연산과 그 활용에 대한 학문이라면, 미적분학은 변화에 중점을 둔 학문이다. 미적분학은 크게 2개의 분야로 분류되는데, 미분과 적분이 바로 그것이다. 미분은 국소적인 변화를 다루는 분야이고, 적분은 국소적인 양의 집적을 다루는 분야이다. 미분 형식
미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다. 미분
함수 formula_43의 점 formula_39에서의 좌미분(左微分, ) formula_45은 다음과 같은 좌극한이다.
마찬가지로, 함수 formula_47의 점 formula_39에서의 우미분(右微分, ) formula_49은 다음과 같은 우극한이다.
미분과 좌미분과 우미분의 관계는 극한과 좌극한과 우극한의 관계와 유사하다. 좌미분과 우미분은 존재하지 않을 수 있으며, 모두 존재하더라도 서로 같지 않을 수 있다. 만약 좌미분과 우미분이 모두 존재하며 서로 같다면, 그 점에서의 미분 역시 존재하게 된다. 분수차 미적분
분수차 미적분학(Fractional calculus)은 해석학의 한 갈래로서 미분 연산자 미분 사상
매끄러운 다양체 사이에서 정의된 매끄러운 함수 φ : "M" → "N"가 있을 때, φ의 점 "x" ∈ "M"에서의 미분 사상()은 "x" 부근에서 φ를 선형근사한 것이다. 구체적으로 말해서, φ의 미분사상이란 "M"의 "x"에서의 접공간을 "N"의 φ("x")에서의 접공간으로 보내는 선형사상이다. 당김과 대응되는 개념으로, 밂()이라고도 부른다. 리만 적분
예를 들어, 닫힌구간 formula_22을 3등분하는 분할 0 < 1/3 < 2/3 < 1은 각 구간의 길이가 1/3이므로 메시가 1/3이며, 2등분 분할 0 < 1/2 < 1과의 공통 세분은 0 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1이다. (1/6, 1/2, 5/6)은 3등분 분할의 한 가지 태그이다. 미분
일변수 실숫값 함수의 미분의 개념을 일반화하여 다변수 벡터 함수의 편미분·전미분·기울기·헤세 행렬·야코비 행렬의 개념을 얻을 수 있다. 미분 대수
특히, 정수환 formula_21 위의 결합 대수는 환이므로, 만약 formula_22 (정수환)인 경우, 그 위의 미분 대수를 미분환(微分環,)이라고 한다. 또한, formula_22이며 formula_11가 체를 이루는 경우, formula_16를 미분체(微分體, )라고 한다. 미분 등급 대수
가환환 formula_1 위의 미분 등급 대수 formula_27의 미분 등급 아이디얼(微分等級ideal, ) formula_28는 다음 세 조건들을 모두 만족시키는 부분 집합이다.
미분 등급 아이디얼 formula_37가 주어졌을 때, 몫 미분 등급 대수() formula_38를 정의할 수 있다. 반대로, 임의의 미분 등급 대수의 준동형 formula_39의 핵은 미분 등급 아이디얼을 이룬다. 미분 리 대수
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_9의 formula_10-미분은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
편의상 formula_13로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
이는
을 정의하면
로 표기될 수 있다. 미분
미분적분학에서 다루는 구적법과 같은 계산 방식은 고대 그리스의 아르키메데스가 구와 원기둥의 부피를 계산한 때부터 전해왔다. 그러나, 무한의 개념을 수학에 도입하여 계산하기 시작한 것은 17세기 이탈리아의 수학자 에반젤리스타 토리첼리 때 부터이다. 토리첼리는 무한소의 개념(무한히 작은 단위량)을 도입하여 포물선 일부 구간의 면적을 구하는 방법을 정리하였다. 또한 거리와 속도의 관계를 밝혔고 넓이를 구하는 문제가 접선을 구하는 문제와 역관계가 있다는 것을 밝혔다. 대한민국의 고등학교 수학 교과목
자연계열의 학생들이 이수하도록 되어 있는 신설 과목. 기존 미분과 적분 과목에 있는 '적분법'과 다른 일부 단원들로 편성되어 있는 과목이다. 미분 (주요 부분)
미분의 개념은 때로 엄밀하지 않게 서술된다. 이 경우, 미분 formula_18는 함수 formula_1의 무한히 작은 변화값이다(미분소). 이러한 논법은 비표준 해석학에서 엄밀한 방식으로 처리된다. 미분의 (엄밀한) 정의법은 위에 적은 선형성에 의한 것과 비표준 해석학적 정의 이외에, 미분 형식, 멱영원, 초실수 등에 의한 것이 있다. 미분 형식
미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다. 만분율
만분율(萬分率)은 수를 10000과의 비로 나타내는 방법으로, 베이시스 포인트라는 단위(드물게 퍼 밀리아드로 사용되며, 유니코드에는 퍼 텐 싸우전드)를 사용하며, 기호는 ‱(U+2031)이다. 금리를 나타낼 때 쓰인다. 적분
19세기에 이르러 베른하르트 리만은 적분에 대해 수학적으로 엄밀한 정의를 내렸다. 1823년 오귀스탱 루이 코시는 모든 연속함수는 적분 가능함을 증명하였고, 리만은 이를 확장하여 연속 함수 f(x)의 적분은 해당 구간에서 리만 합의 극한과 같다는 점을 증명하였다. 이렇게 정의된 적분을 흔히 리만 적분이라 한다. 리만 적분은 이후 토마스 요아너스 스틸티어스에 의해 보다 간단히 정리되었다. 미분 대수
미분체 확대(微分體擴大, )는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다. 미분
기하학적 관점에서, 미분은 주어진 곡선의 접선을 구하는 문제와 동치이다. 접선의 기하학적 의미는 곡선과 스치듯이 만나는 직선이다. 즉, 접선에 미세한 변화를 가하면 곡선과의 교점의 개수가 변화하게 된다. 예를 들어, 직선 formula_15과 formula_16 모두 포물선 formula_17과 유일한 교점을 갖지만, 전자는 약간 흔들었을 때 교점을 잃거나 얻으므로 접선이며, 후자는 약간 흔들어도 유일한 교점을 가지므로 접선이 아니다. 선적분
미적분학에서, 선적분(線積分, )과 직선 위의 정적분을 곡선 위의 적분까지 일반화한 개념이다. 두 종류의 선적분이 존재하며, 하나는 스칼라 장, 하나는 벡터 장에 대한 것이다. 스칼라 장의 선적분은 밀도 분포가 주어진 끈의 질량을 구하는 문제와 같으며, 벡터 장의 선적분은 어떤 역장이 주어진 경로를 따라 운동하는 물체에 한 일을 구하는 문제와 같다. 스칼라 장과 벡터 장의 선적분의 정의는 서로 전환 가능하다. 즉, 벡터 장의 선적분은 (스칼라 장을 이루는) 접성분의 선적분과 같다. 몫의 법칙
미적분학에서, 몫의 법칙() 또는 몫의 미분법은 두 함수의 몫을 미분할 때 쓰이는 공식이다. 적분상수
적분상수(積分常數)는 미분의 역과정인 부정적분을 했을 경우에 생기는 상수로, 임의의 값을 취한다. 적분상수는 주로 영어 알파벳 대문자 formula_1나 formula_2를 사용하여 나타낸다. E (상수)
"e"는 함수의 미분과 적분에서 특별하게 취급된다. "e"에 대한 임의 차원의 지수함수인 formula_51 는 이를 미분한 도함수가 다시 자기 자신이 되는 함수이다. 또한, 곡선 formula_51에 대한 formula_53 에서 formula_10까지 아래 넓이는 "e"이다. 미분 형식
미분 형식의 쐐기곱()은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 formula_24과 formula_25, formula_26에 대하여,
성분으로 적으면 다음과 같다.
여기서 formula_32는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 formula_33, formula_34의 쐐기곱은
이다. 말리아뱅 미분
확률론에서, 말리아뱅 미분(Malliavin微分, )은 위너 공간 위에 정의된 실수 값 함수에 대하여 정의되는 미분 연산이다. 말리아뱅 미분은 바나흐 공간의 프레셰 미분과 달리, 극한이 오직 위너 공간의 부분 힐베르트 공간의 방향에 대하여 존재하는 것만을 요구한다. 그 에르미트 수반은 스코로호드 적분(Скороход積分, )이라고 하며, 이는 이토 적분의 일반화이다. 적분
적분은 여러 가지 형식으로 구분된다. 적분 계산에 대한 정의 방식이 달라 서로 다른 형식으로 분류되는 것이 대부분이지만, 교육적인 목적때문에 구분한 경우도 있다. 가장 일반적으로 널리 쓰이는 적분은 리만 적분과 르베그 적분이다. 선분
선분(線分, segment)은 양쪽에 끝나는 점이 있는, 직선의 부분이다. 즉, 수학에서의 모든 종류의 선 중에서, 오직 선분만 양쪽의 끝나는 점이 존재하므로 어떤 선분을 수학적으로 표현하려면 양 끝의 점을 이용하여 나타내는게 간단하고 효율적이다. 따라서 점 A, B를 양끝으로 하는 선분을 선분 AB라 정의한다. 또한 선분은 양 끝이 존재하기때문에, 무한의 길이를 가지는 직선, 반직선과 달리 길이를 잴 수 있는 고유한 특징도 있다. 백분율 기호
백분율 기호(%) 또는 퍼센트 기호는 백분율(앞 수가 100으로 나뉜 것)을 나타내는 데 쓰이는 기호로, 유니코드에는 U+0025에 할당되어 있다. 관련된 기호로 천분율 기호 (U+2030)과 만분율 기호 (U+2031, 베이시스 포인트라고도 함)가 있는데, 각각 1000분의 1과 10000분의 1을 가리킨다. 이보다 더 높은 비율은 parts-per 표기법을 사용한다. 기하학사
페르마는 함수의 극한을 이용하여 그래프의 접선을 구하는 문제 역시 고찰하여 일반적인 풀이법을 발견하였다. 그러나 미적분학을 정립하고 완성시킨 것은 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠였다. 둘은 각자 독립적인 방법으로 미적분학을 완성하였다. 뉴턴은 기하학을 바탕으로 순간적인 변화량을 구하는 방법을 발견하고 이를 유율법()이라고 불렀다. 뉴턴은 유율법을 곡선에 대한 접선과 곡률의 견지에서 파악하였다. 뉴턴은 1687년 《자연 철학의 수학적 원리》에 유율법을 발표하였다. 한편, 라이프니츠는 함수 f(x)에서 x가 무한히 작은 증분인 미분()의 변화량을 가질 때 f(x)의 변화량을 구하는 방법으로서 미분을 발견하였다. 라이프니츠는 1677년 무렵에는 미분의 계산방법과 표기법을 완성하였다. 오늘날에는 보다 수학적으로 효율적인 라이프니츠의 방법이 주로 쓰인다. 뉴턴과 라이프니츠는 미분의 발견 공로를 놓고 오랫동안 다투었으며 이로 인해 유럽의 수학계는 둘 중 누구를 지지하는 가를 놓고 심한 대립을 보이기도 하였다. 뉴턴과 라이프니츠는 서로 상대방이 자신의 아이디어를 훔쳤다고 비난하였다. 이러한 대립은 라이프니츠가 사망한 이후에도 계속되었다. 오늘날에는 뉴턴과 라이프니츠가 각자 독자적인 방법으로 미분을 발견했다고 본다. 미분 형식
다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다. 기약분수
기약분수(Irreducible fraction)는 분자와 분모의 공약수가 1뿐이어서 더이상 약분되지 않는 분수이다. 분자와 분모를 1 이외의 공통된 약수로 나누는 행위를 약분이라고 한다. 정수 formula_1에 대해, 분수 formula_2가 기약분수라는 것과, formula_1가 서로 소(coprime), 즉, 최대공약수(greatest common divisor)가 1이라는 것은 같은 말이다.(약분이 더이상 1이외에 가능하지 않다는 뜻이다.) 곱의 법칙 (미적분학)
만약 두 함수 formula_1가 formula_2에서 미분 가능하다면, formula_3 역시 formula_4에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.
이를 라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면 다음과 같다.
선형 근사를 사용하여 쓰면 다음과 같다.
만약 함수 formula_8가 formula_2에서 미분 가능하다면, formula_10의 formula_4에서의 미분은 다음과 같다.
보다 일반적으로, 만약 formula_13가 formula_14계 도함수를 갖는다면, formula_3 역시 formula_14계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 이항 계수이다.)
만약 formula_18가 formula_14계 도함수를 갖는다면, formula_10의 formula_14계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.) 리 미분
또한, 벡터장 formula_75와 formula_76가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 미분
를 정의할 수 있으며, 이는 올다발 formula_78의 단면이다.