무한급수란?
미적분학
급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다.
급수는 유한 급수와 무한급수로 나눌 수 있다. 유한 급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.formula_258
무한 루프
다음은 컴퓨터에서 변수가 기대하지 않은 성질을 가져서 무한 루프가 되는 사례이다.
0.1이 10번 더해지면, 1.1이 되어야겠지만 실제로는 2진법 부동소수점으로 컴퓨터가 처리하므로 미세하게 다르기 때문에 무한루프가 된다. 이러한 문제는 x가 정해진 수와 같을 때 멈추는 조건을 부등호로 변경하여 해결할 수 있다. 무리수
무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다. 원주율
17세기의 프랑스 수학자 프랑수아 비에트는 다음과 같은 무한급수로 원주율을 계산하였다. 소수 (기수법)
순환 소수가 아닌 소수를 비순환 소수(非循環小數, )라고 한다.어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 닐스 헨리크 아벨
무한급수의 균등수렴의 개념에 처음으로 주의를 기울인 학자로도 알려져 있다. 리만 제타 함수
따라서,
리만 제타 함수는 규칙적으로 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있기 때문에 많은 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 그리고 이 리만 제타 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서, 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있으며, 그렇기 때문에 이 식은 중요하게 이용된다. 무한
이러한 수들을 ‘무한대(infinite)'라고 한다.또는 무한(infinity)이라고 한다.
발산의 무한formula_10
극한의 수렴의 무한 다음수 함수
다음수 함수는 (덧셈, 곱셈, 거듭제곱, 테트레이션, 등을 만들기 위한) 하이퍼 연산의 무한 계층의 0단계 기본이다. 급수 (수학)
예를 들어, 기하급수
는 자기 자신이 수렴급수이며, 절댓값을 취한
도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다. 불교 용어 목록/무
무족(無足)은, 무착의 《대승아비달마집론》, 안혜의 《대승아비달마잡집론》, 호법 등의 《성유식론》 등에 나오는, 정진(精進) 또는 근(勤)의 5단계의 차별인 피갑(被甲)가행(加行)무하(無下)무퇴(無退)무족(無足)의 5정진(五精進) 가운데 하나이다. 무희족(無喜足)이라고도 한다. 수 (수학)
수는 인류의 역사와 더불어 많아진다. 자연수는 물건의 개수를 세기 위해 먼 옛날 처음으로 만든 수다.
여기서 음수를 포함하여 정수의 개념이, 정수의 나눗셈에서 유리수의 개념이 생겨났으며, 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 체계가 생겨났다. 나눗셈 같은 계산을 할 때, 표현할 수 없는 무리수로 인해 실수라는 개념을 만들었다. 무리수는 자유롭게 계산할 수 있는 수가 아니다. 그리고 무리수는 일반적인 사칙연산에서는 생겨나지 않는다. 대수 방정식의 해법을 찾는 과정에서 허수를 포함하여 복소수가 등장하게 되었다. 이로써 수는 양만을 기술하기 위한 개념이 아니게 되었다.일반적으로 수는 실수(또는 복소수) 전체의 집합의 원소를 가리키는 것으로 여겨진다. 한편, 이와는 다른 체계가 있어, 그 일부 또한 '수'로 불린다. 물건의 개수 개념인 자연수를 확장하여 기수, 물건의 순서를 의미하는 자연수를 확장해서 순서수가 정의된다. 또한, 유리수에서 실수로 확장되는 것과 병행하여 소수 p에 대하여 p진수가 존재하며, 복소수를 넘어서서 추가로 허수의 단위가 추가되면서 사원수, 팔원수, 16원수, 이원수, 분할복소수 등이 있다. 또한 실수에 더하여 무한소 또는 무한대를 포함한 초실수 체계도 있다. 무한 집합
수학에서, 무한 집합(無限集合, )은 원소의 개수가 무한히 많은 집합으로, 원소의 개수가 유한한 유한 집합이 아닌 모든 집합이다. 무한 집합은 크게 가산 무한 집합과 비가산 집합으로 나눌 수 있다. 알레프 수
집합론에서, 알레프 수(ℵ數, )는 무한 기수를 나타내는 표기법이다. 기수의 고유 모임은 정렬 순서를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 순서수와 일대일 대응시킨다. 등비수열
무한등비급수는 등비수열의 각 항을 무한히 더한 것이며, 그 합은 다음과 같다. 절대적 무한
절대적 무한은 초한수 중에서 가장 크고, 그보다 큰 수는 존재하지 않는 무한수를 가리킨다. 절대적 무한을 가리켜 "오메가"라고도 한다.
초한수 수열은 formula_1와 같이 무한히 계속될 수 있다. 또 formula_2 등의 초-초한수들도 정의할 수 있고, 이러한 과정을 무한히 반복하면 절대적 무한에 다다를 수 있다. 함수의 극한
실수 극한 대신 무한대 극한을 정의할 수 있다. 다만, 무한대 극한은 더 넓은 의미의 극한이다. 다시 말해, 무한대 극한을 갖는 경우 극한이 존재한다고 보지 않는다. 열린구간 formula_1 및 실수 함수 formula_2가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 극한이 무한대라고 하며, formula_73라 표기한다.
비슷하게, formula_4가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 극한이 음의 무한대라고 하며, formula_81라 표기한다.
이와 마찬가지로, 무한대 좌극한 · 무한대 우극한 · 무한대에서의 무한대 극한 등을 정의할 수 있다. 0.999…
0.999…를 등비수열의 무한급수로 보고 공식을 이용해 풀 수 있다. 순서수
집합론에서, 순서수(順序數, )는 정렬 전순서 집합들의 "길이"를 측정하는 수의 일종이다. 자연수를 확장하며, 자연수들의 정렬 전순서 집합과 같은 무한 정렬 전순서 집합들의 크기를 측정하는 무한 순서수들이 존재한다. 자연수
자연수의 집합 formula_3은 무한 집합이다. 자연수의 집합의 크기를 알레프 0 formula_64으로 정의하며, 이는 최소 무한 기수이다. 즉, 임의의 무한 집합 formula_28에 대하여, formula_66인 부분 집합 formula_67가 존재한다. 자연수의 집합과 크기가 같은 집합(=전단사 함수 formula_68가 존재하는 집합 formula_28)을 가산 무한 집합이라고 한다. 예를 들어, 유리수의 집합 formula_70는 가산 무한 집합이며, 실수의 집합 formula_71는 비(非)가산 무한 집합이다. 무한 집합
엄밀한 정의로는 집합 formula_1의 적당한 진부분 집합 formula_2가 존재해, formula_1와 formula_2 사이의 일대일 대응이 존재하면 formula_1를 무한 집합이라 한다. 이항 계수
이항 계수의 정의는 임의의 기수에 대하여 확장할 수 있다. 임의의 기수 formula_60에 대하여, 초한 이항 계수(超限二項係數, )
는 크기가 formula_62인 집합의, 크기가 formula_63인 부분 집합들의 수이다. 만약 formula_62와 formula_63가 둘 다 유한 기수라면 이는 자연수의 이항 계수의 정의와 일치한다. 집합의 크기
자연수 집합과 대등하지 않은 무한 집합을 비가산 집합이라고 한다. 실수 집합은 비가산 집합이다. 즉, 이는 자연수와 일대일 대응할 수 없다. 배중률
일반적으로 직관주의는 유한한 집합에 관하여 배중률의 적용을 허용하지만, 무한집합 (이를테면 자연수)에 대해서는 불허한다. 따라서 「무한집합 "D"에 관한 모든 명제 "P"에 대하여, "P"인지 또는 "P"가 아닌지 중 하나이다」(Kleene 1952 : 48)라는 사고방식은 직관주의에서는 절대로 불가능하다. 자세한 것은 수학기초론과 수학적 직관론을 참조하기 바란다. 무한궤도
무한궤도(無限軌道, Continuous tracks) 또는 캐터필러 궤도(caterpillar tracks)는 2개 이상의 바퀴와 그 둘레에 두른 판을 사용하는 차량 추진 방식이다. 바퀴에 두르는 판은 보통 군사용 차량의 경우 조립식 철판으로 만들고, 농업용이나 건설용 차량은 철사로 보강한 고무판을 쓰기도 한다. 무한궤도는 표면적이 넓기 때문에, 타이어보다 차량의 무게를 분산시키기 용이하다. 때문에 무한궤도 차량은 무른 땅에서도 가라앉거나 갇히지 않을 수 있다. 연분수
무한 연분수 중 꼬리들이 반복되어 나타나는 것을 순환 연분수라고 한다. 어떤 무리수가 순환 연분수로 표현가능할 필요충분조건은 그것이 어떤 이차방정식의 해가 되는 것이다. 즉, 이차 무리수()인 것이다. 기수 (수학)
유한 집합의 크기인 기수를 유한 기수, 무한 집합의 크기인 기수는 무한 기수라고 한다. 유한 기수는 자연수(음이 아닌 정수)와 같으며, 선택 공리를 가정한다면 무한 기수는 알레프 수와 같다. 즉, 선택 공리를 가정하였을 때 기수의 열은
이다. 알레프 수의 경우, 임의의 순서수 formula_7가 알레프 수 formula_116의 첨수가 될 수 있으며, 따라서 어떤 의미에서 알레프 수는 순서수만큼이나 많다. 동시에, 자연수와 알레프 수는 순서수들의 고유 모임의 부분모임이다. 선택 공리를 가정하지 않을 경우에는 알레프 수가 아닌 무한 기수가 있을 수도 있다. 무한
수학에서 무한대(無限大)는 어떤 실수나 자연수보다도 더 큰 상태를 뜻한다. L-함수
우선 무한 급수 표현(예를 들어, 리만 제타 함수에 대한 디리클레 급수)인, L-시리즈와 그 복소 평면에서의 해석 확장인 "L"-함수를 구별한다. 디리클레 급수에서 정의된 "L"-시리즈로 시작한다. 다음에 소수들 위에서의 오일러 곱을 만든다. 이것이 복소 상반평면의 오른쪽 일부에서 수렴하는 것을 증명할 수 있는지 확인한다. 그리고 복소 평면의 나머지 영역에서도 해석적 확장을 통해 정의될 수 있는지 확인한다 (몇몇 극점이 있을 수 있다). 기수 (수학)
모든 무한 기수는 극한 순서수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, formula_59는 극한 순서수이지만, 그 크기는 formula_60이므로 기수가 아니다. 대부분의 순서수는 극한 순서수가 아니므로, 기수들은 순서수들 중에 상당히 드물게 분포한다. 조제프 푸리에
어느 유한구간에서 정의된 함수를 삼각함수의 급수로 나타내는 것을 푸리에 전개라고 하며, 이것을 무한 구간으로 확장한 것을 푸리에 변환이라 한다. 무한
이곳에서 무한대는 수가 아니라 상태를 나타내는 것으로, 일반적인 실수체(real field, 모든 실수들의 집합)안에서는 두 개의 무한대를 더하거나 곱하는 등의 연산을 할 수는 없다. 그러나 formula_8를 포함시켜 콤팩트 집합의 성질을 갖도록 한 확장된 실수에서는 실수와 무한대와의 사칙연산 등을 정의하여 사용하기도 한다. 수렴판정법
수학에서, 수렴판정법(收斂判定法, )은 무한급수의 수렴성을 판단하는 방법이다. 구체적으로, 급수가 수렴, 절대수렴, 조건수렴, 또는 발산할 충분, 필요, 또는 필요충분조건을 제시한다. 함수항급수의 점별수렴, 균등수렴 여부를 판정하거나 수렴역을 구하는 방법도 제공한다. 알고리즘 난수열
알고리즘 무작위 수열(Algorithmic random sequence)이란 어떤 알고리즘에 대해서 각 알파벳이 무작위하게 등장한다고 간주되는 무한수열이다. 무작위 수열을 정의하는데 쓰이는 알고리즘의 종류는 매우 다양하기 때문에 무작위성에도 서로 다른 정의가 있다. 마틴-뢰프 무작위성(Martin-Löf randomnes)은 그 중 가장 흔하게 사용되는 정의이다. 무작위 수열은 알고리즘 정보이론 의 주요한 연구주제중 하나이다. 수열
수열에서 나열되는 항의 개수를 그 수열의 길이()라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도, 무한할 수도 있으며, 길이가 유한하면 유한수열(), 무한하면 무한수열()이라고 부른다. 유한수열에게는 마지막으로 오는 항이 존재하며, 이를 끝항() 또는 마지막항, 말항이라고 부른다. 분수 (수학)
유한 연분수는 양의 정수를 더하는 연산과 역수 연산을 번갈아 가며 반복하여 얻는 분수이다. 예를 들어, 다음과 같은 수식은 유한 연분수이다.
유한 연분수는 번분수의 일종이므로, 분수로 전환할 수 있다. 예를 들어, 위 유한 연분수의 분수 꼴을 계산하면 다음과 같다.
모든 분수는 유한 연분수 꼴로 나타낼 수 있으며, 그 방법은 유일하다. 유한 연분수를 분수 꼴로 바꾸는 과정을 반대로 진행하면 된다. 그 예는 다음과 같다.
양의 정수를 더하는 연산과 역수 연산을 무한히 반복하는 무한 연분수의 개념 역시 존재하지만, 이는 정수를 분자 분모로 하는 분수의 꼴로 나타낼 수 없다. 코시 수렴판정법
코시 수렴판정법()은 무한급수의 수렴판정법이다. 이 판정법에 의하면, 급수가 수렴한다는 것은 부분합 수열이 코시 수열인 것과 동치이다. 수열
부분합 수열 formula_74이 수열로서 상수 formula_47로 수렴할 때, 무한급수 formula_78이 formula_47로 수렴한다고 하고 이를 formula_80과 같이 나타낸다. 무제한급
2018년 1월 19일 기준 표입니다.
유도에서는 무제한급이 있는 대회(세계 유도 선수권 대회)나, 무제한급으로 치러지는 대회(전 일본 유도 선수권 대회)도 있다. 올림픽에도 과거에는 무제한급이 있었지만, 지금은 100 kg 이상 급으로 바뀌어있다. 도달 불가능한 기수
모든 무한 기수는 정칙 기수이거나 극한 기수이다. 구체적으로, 만약 formula_1가 따름 순서수라면 formula_2는 정칙 기수이며, 반대로 만약 formula_1가 극한 순서수라면 formula_2는 극한 기수이다. 그런데 후자는 필요 충분 조건이지만 전자는 그렇지 않다. 즉, 정칙 기수 조건과 극한 기수 조건은 서로 배타적이지 않다. 정칙 기수이자 극한 기수인 기수를 약하게 도달 불가능한 기수(弱하게到達不可能한基數, )라고 한다. (일부 문헌에서는 비가산 기수라는 조건을 추가한다.) 불 대수
멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합 formula_85 및 기수 formula_49가 주어졌을 때,
로 정의하자. 만약 formula_50이거나 formula_97이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어, formula_98일 경우, formula_99는 크기가 formula_100인 불 대수이며, 따라서 멱집합과 동형일 수 없다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠
라이프니츠 증명은 대부분 기하학적 직감에 의한 사실이었다. 라이프니츠는 무한소라고 불리는 수학적 존재를 밝혀냈고, 역설적이게도 이것을 대수적 성질에 적용하자고 제안했다. 무한 루프
무한 루프(infinite loop)는 컴퓨터에서 프로그램이 끝없이 동작하는 것으로, 루프문에 종료 조건이 없거나, 종료 조건과 만날 수 없을때 생긴다. 다중작업을 지원한 오래된 운영 체제는 한 프로그램의 무한루프가 전체 프로그램이 응답할 수 없게 만들었다. 무한원점
무한원점(無限遠點, point at infinity)은 직선이나 평면의 '끝'에 추가하는 가상의 점이다. 아핀 평면에 각 평행선마다 무한원점 하나를 추가하거나(사영 평면), 복소 평면을 무한원점 하나를 추가해 확장하는 것이 그 예이다. 무한원점의 추가는 열린 곡선(면)을 닫히게 만드는 효과가 있다. 미술에서의 소실점과 관련이 있다. 코시 곱
수학에서 두 무한급수의 곱은 코시 곱(Cauchy product)임을 말한다. 오일러 공식
테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.
이때 formula_5가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면
가 된다. 무한대 (음반)
《무한대》는 한대수의 세 번째 정규 음반이다. 불가사의
불가사의(不可思議)는 한자 문화권에서 사용되는 수의 단위이다. 본래 불교에서 말로 표현하거나 마음으로 생각할 수 없는 오묘한 이치 또는 가르침을 뜻하며, 언어로 표현할 수 없는 놀라운 상태를 일컫기도 한다. 한자 문화권에서 사용되는 수의 단위 중 그 값이 무량대수보다 적은 수이기도 하다. 수리적으로는 10을 뜻한다.
소승불교에서도 불가사의해탈을 중시하는지는 모르겠지만, 대승불교에서는 깨달음이란 불가사의해탈(不可思議解脫)이라고 하여 매우 중시한다. 부사의해탈(不思議解脫)이라고도 한다. 
화엄경은 대부사의해탈경(大不思議解脫經)이라고도 불린다. 대승불교의 아버지 용수존자가 용궁에서 화엄경을 보았고, 그것을 외운 다음에, 화엄경을 편찬했다고 한다. 용궁에는 항본 대본 상본 중본 하본이 있었는데, 방대한 분량이라 하본만을 가지고 육지로 나왔고, 그것도 너무 방대해 용수존자가 화엄경 약본을 썼다고 한다. 오늘날의 화엄경은 이 용수존자의 화엄경 약본이라고 한다. 급수 (수학)
수학에서, 급수(級數, , )는 수열의 모든 항을 더한 것이다. 항의 개수가 유한한 유한급수(有限級數, )와 항의 개수가 무한한 무한급수(無限級數, )로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 수렴급수와 그렇지 않은 발산 급수로 분류된다. 급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다. 유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다.
수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호가 쓰인다. 무한
무한(無限, ∞)이란 개념은 수학, 철학을 비롯한 여러 분야에서 서로 다른 의미로 쓰이며, 대체로 끝이 없거나 한없이 커지는 상태를 말한다. 기수 (수학)
유한 기수의 따름 기수는 따름 순서수와 차이가 없으나, 무한의 경우에는 무한 순서수와 그 따름 순서수의 크기가 같으므로 다른 정의를 필요로 한다. 따라서, 폰 노이만 기수 배정법과 선택 공리를 이용해 기수 κ의 따름 기수 κ를 다음과 같이 정의한다:
여기에서 formula_53는 순서수들의 고유 모임이다. 하르톡스의 정리에 따르면 임의의 정렬 가능 기수에 대해 그보다 더 큰 정렬 가능 기수를 구성할 수 있으므로, 위의 집합이 공집합이 아니며, 또한 순서수는 정렬 집합이므로 최소 원소가 실제로 존재한다. 따라서 κ와 κ 사이에 기수가 존재하지 않는다. 점화식
formula_85이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.
이 수열을 계수로 갖는 다항식 formula_87은 다음 등식을 만족해야 한다.
그러므로 formula_89를 구할 수 있고 이를 다시 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다. 칸토어-르베그 정리
E를 실수의 부분집합 [0, 2π)에 속하는 양측도의 가측 집합이라 하자. 만약 다음의 무한급수 초현실수
초현실수(超現實數, )란 무한과 무한소가 있는 전순서 집합이다. 임의의 양의 실수보다 절대값이 큰 수와 작은 수가 있다. 무연근
다항방정식은 해를 구하는 유도과정을 거쳐서 근을 찾게되는데, 이때 다항식이 유리방정식(분수방정식)이나 무리방정식의 경우라면,해로서 구한 근이 다항방정식의 근이기도 하지만 원래의 유리방정식이나 무리방정식의 근이 아닌 것이 해로 포함되어 나타낼 때가 있다. 이와 같은 근을 무연근이라고 하는데, 부분분수
다음과 같은 유리식을 무한급수로 표현했다고 하자.
이 무한급수의 계수들은 수열이 되는데, 그 일반항을 직접 구하기는 어렵다. 그러나 부분분수로 쪼개서 계산할 수 있다.
이 때, 다음 등식을 이용한다.
그리하여 다음을 얻는다. 무제한급
일반적으로 미국 네바다 규정에 의해 헤비급(93~120 kg) 위에 슈퍼헤비급(120 kg 이상~제한없음)을 두고 있지만, 대한민국이나 일본 등 아시아 단체들은 이를 구분하지 않고 있다. 무제한급은 체중 제한 자체가 없어서 93 kg 미만 선수와 그 이상의 훨씬 무거운 선수가 대결하기도 하지만, 대체적으로 100 kg 이상 대의 선수들이 대결하고 있어, 대한민국이나 일본 등 아시아 단체들은 헤비급(93 kg ~ 제한없음)을 무제한급으로 부르는 추세이다. 로드 FC, 판크라스, ZST, 딥 등의 단체에서 현재 무제한급을 사용하고 있다. 지금은 사라진 단체 드림에도 《슈퍼 헐크 토너먼트 - 세계초인선수권》이라는 이름을 붙인 무제한급이 있었다. 판크라스의 경우 가장 무거운 체급인 슈퍼헤비급이 폐지되면서 무제한급에 통합되었다. 딥에서는 메가톤급이라는 이름으로 무제한급을 실시해, 100kg 이상의 선수들이 대결한 적이 있으나, 초대 챔피언은 100kg에 못미치는 가와구치 유스케였다. 무한곱
수학에서, 무한곱(無限-, )은 무한 수열의 모든 항의 곱이다. 이는 앞의 몇 항의 유한곱에 대한 극한으로 정의되며, 이 극한값이 0이 아닐 경우에만 무한곱이 수렴하는 것으로 정의한다. 무한곱이 수렴하려면 그 수열 항의 극한이 1이어야 하므로, 편의상 수열의 모든 항이 양의 실수라고 가정하여도 무방하다. 소수 (기수법)
소수점 아랫자리가 유한한 수를 유한 소수(有限小數, )라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수이다. 만약 기약 분수의 분모가 formula_16 (formula_17은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가 formula_16 (formula_17은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다. 유한 소수의 예는 다음과 같다.
보다 일반적으로, formula_24진법 소수 표기에서, 어떤 기약 분수가 유한 소수일 필요충분조건은 분모의 모든 소인수가 formula_24의 소인수인 것이다. 전해석 함수
전해석 함수를 급수로 나타냈을 때 유한 급수인 것이 다항 함수이고, 무한 급수로 나타나는 것이 초월 전해석 함수이다. 무한강하법
무한강하법은 formula_1가 무리수라는 것을 증명하는 데에 사용될 수 있다. 만약 formula_1가 유리수라면, 정수 formula_4(m≠0)가 존재하여
로 표현할 수 있다. 그렇다면 식의 양변을 제곱하여
를 얻을 수 있다. 따라서 이 방정식을 만족하는 정수쌍 formula_7이 존재하는 것과 formula_1가 유리수에 속하는 것은 동치이다. 배중률
실제로, 힐베르트와 브라우어르는 저마다 배중률을 무한히 적용하는 예를 보였다. 힐베르트의 예는 「소수(素数)는 유한개인가 무한개인가」(Davis 2000:97)이며, 브라우어르의 예는 「모든 수학적 종(種)은 유한인가 무한인가」(Brouwer 1923 in van Heijenport 1967:336)이다. 비 해석적 매끄러운 함수
위에서 정의한 매끄러운 전이 함수 g를 사용하여 정의 하면ː
이 함수 "h"역시 매끄럽다; 이 함수는 닫힌 구간 [−1,1]에서는 1이고 열린 구간 (−2,2)의 외부에서는 사라진다. "h"를 사용하여 0을 포함한 모든 자연수에 대하여 매끄러운 함수를 정의한다ː
이는 구간 [−1,1]에서 단항식 "x"과 일치하고 구간 (−2,2) 외부에서는 사라진다. 따라서 원점에서 "ψ"의 "k"차 미분계수는 다음을 만족한다
그리고 최대 최소 정리는 "ψ"과 "ψ"의 모든 도함수들이 유계함수라는 것을 내포한다. 따라서 상수
of "ψ"의 균등 수렴 위상과 그것의 첫번째 "n" 도함수를 포함해서 잘 정의된 실수이다. 크기를 조절한 함수를 정의한다ː
연쇄 법칙을 반복적으로 적용한다
이전에 계산한 0에서 "ψ"의 "k"차 미분계수를 사용하면
우리가 구하고자 하는 함수는 다음과 같다ː
이것은 잘 정의되어 있고, 순차적으로 무한히 미분할 수 있다. 이를 위해 모든 "k"에 대해서 보자
남은 무한급수는 비판정법에 의해 수렴한다 전해석 함수
리우빌의 정리에 따르면, 유계 함수인 전해석 함수는 상수 함수뿐이다. 유계(bounded) 는 전해석함수의 중요한 특성을 나타내고 있다. 이 정리에 따라 상수함수가 아닌 전해석함수는 반드시 무한점, formula_4를 특이점(singular point)으로 갖는다. 무한 특이점은 극점 또는 본질적 특이점(essential singularity)이며, 무한 특이점에서 극(극점)을 갖는 전해석 함수는 다항함수이고, 진성특이점을 갖는 함수는 초월전해석함수이다. 테일러 급수
미적분학에서, 테일러 급수(Taylor級數, )는 도함수들의 한 점에서의 값으로 계산된 항의 무한합으로 해석함수를 나타내는 방법이다. 극한비교판정법
극한비교판정법(極限比較判定法, )은 무한급수에 대한 수렴판정법이다. 내용은, 두 양수항 급수에 항별로 비를 취한 것의 극한이 0이 아닌 실수로서 존재하면, 두 급수의 수렴 여부가 같다는 것이다. 무제한급
무제한급(無制限級, Openweight)은 격투 스포츠나 프로 레슬링 등에서 사용되는 비공식 체급이다. 체중에 제한을 두지 않는 체급으로무차별급이라고도 한다. 초실수
초실수
의 동치류는 무한대 초자연수이다. 그 역수
는 무한소 초실수이다. 연산 (수학)
넓은 의미에서, formula_4항 연산은 다음과 같은 함수이다.
또한, 무한 순서수 항수를 허용하여 연산의 개념을 일반화할 수 있다. 이 경우, 원래의 항수가 유한한 연산을 유한항 연산(有限項演算, )이라고 하며, 항수가 무한한 연산을 무한항 연산(無限項演算, )이라고 한다. 급수 (수학)
급수 formula_52에 항별로 절댓값을 취한 급수 formula_53이 수렴급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 절대 수렴급수라고 한다. 무리수
무리수(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉, 분수로 나타낼 수 없는 소수이다. 불가촉 수
불가촉 수(Untouchable Number)는 수학자 에르되시 팔에 의해 만들어진 개념으로, 어떤 자연수 formula_1의 진약수들의 합으로도 나타낼 수 없는 자연수 formula_2을 불가촉 수라고 한다. 예를 들어 4는 불가촉 수가 아닌데, 4는 9의 진약수 1과 3의 합으로 표현될 수 있기 때문이다. 급수
급수의 다른 뜻은 다음과 같다. 미적분학
무한급수는 위의 formula_261, 즉 급수의 부분합으로 이루어지는 수열의 극한값으로 생각한다. formula_117이 무한대로 갈 때, 그 극한이 유한한 값을 갖는다면 이 급수가 수렴한다고 한다. 만약 이 값이 무한하거나 존재하지 않는다면, 이 급수는 발산한다고 한다. 무량대수
무량대수(無量大數)란 한자 문화권에서 사용되는 수의 단위이다. 한자 문화권에서 사용되는 수의 단위 중 가장 그 값이 큰 단위이기도 하다. 수학
수의 체계가 보다 발전하면서, 정수의 집합을 유리수의 집합의 부분집합으로 여기게 되었다. 또한 유리수의 집합은 실수의 집합의 부분집합이며, 이는 또다시 복소수 집합의 일부분으로 볼 수 있다. 여기에서 더 나아가면 사원수와 팔원수 등의 개념을 생각할 수도 있다. 이와는 약간 다른 방향으로, 자연수를 무한대까지 세어나간다는 개념을 형식화하여 순서수의 개념을 얻으며, 집합의 크기 비교를 이용하여 무한대를 다루기 위한 또다른 방법으로는 기수의 개념도 있다. 급수 (수학)
수렴급수가 아닌 급수를 발산 급수라고 한다. 무한강하법
하지만, (0을 제외한) 정수의 해를 2로 무한히 나눌 수 없으므로 그러한 해는 원래부터 존재하지 않는다. 즉, formula_1는 유리수가 될 수 없는 무리수라는 것이 무한강하법에 의하여 증명된다. 무한곱
실수 수열 formula_1의 무한곱 formula_2의 값은 부분곱(部分-, ) formula_3의 열의 극한
으로 정의된다. 만약 위와 같은 극한이 존재하고 0이 아니라면, 무한곱 formula_2이 수렴(收斂, )한다고 한다. 만약 반대로 위와 같은 극한이 0이거나 존재하지 않는다면, 무한곱 formula_2이 발산(發散, )한다고 한다. 절대 수렴 개정
절대수렴(絕對收斂, 영어: absolute convergence)은 수학에서, 무한급수의 항들의 절댓값들을 구하여 이의 합이 수렴할 때의 무한급수이다. 무수천
무수천은 다음을 가리키는 말이다. 디리클레 판정법
디리클레 판정법()은 무한급수의 수렴판정법 중 하나이다. 단조롭게 0으로 수렴하는 항들의 급수와 부분합이 유계인 급수를 항별로 곱한 것이 수렴급수라는 것으로 서술된다. 작자 페터 구스타프 르죈 디리클레의 사후인 1862년 《순수 및 응용수학 저널》()에 게재되었다. 무한 논리
무한 논리는 집합론에서 약콤팩트 기수·강콤팩트 기수 등의 큰 기수들을 정의할 때 쓰인다. 무한곱
리만 제타 함수의 formula_29에서의 값은 다음과 같은 수렴하는 급수와 같다.
여기에 formula_31를 곱하면 홀수에 대한 합이 남는다.
다시 formula_33를 곱하면 2나 3의 배수가 아닌 정수에 대한 합만 남는다.
이를 모든 소수 formula_35에 대하여 반복하면 우변은 결국 1이 된다.
즉, formula_29에서의 리만 제타 함수 값은 무한곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 무작위 행보
무작위 행보(無作爲行步, ) 또는 취보(醉步, drunkard walking)는 수학, 컴퓨터 과학, 물리학 분야에서 임의 방향으로 향하는 연속적인 걸음을 나타내는 수학적 개념이다. 무작위 행보라는 개념은 1905년 칼 피어슨이 처음 소개하였으며, 생태학, 수학, 컴퓨터 과학, 물리학, 화학 등의 분야에서 광범위하게 사용되고 있다. 연분수
이를 반복하면, 무한 연분수
를 얻는다. 수렴급수
수학에서 급수란 수열을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 무한급수를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다. 번분수
번분수의 분자나 분모 역시 번분수일 수 있다. 유한 연분수는 번분수의 특수한 경우이다. 유한 연분수 formula_5는 다음과 같이 정의된다.
예를 들어 다음과 같은 번분수는 연분수이다. 가장 안쪽의 번분수부터 차례대로 정리하여 일반적인 분수 꼴이 되게 할 수 있다.
무한 연분수 formula_9는 이를 확장한 개념이며, 다음과 같이 극한으로 정의된다.
예를 들어, formula_11를 취하면, 황금비의 연분수 표현을 얻는다. 이는 (1, 1, 1, ...)을 유한 연분수의 정의에 대입한 뒤 극한을 취하면, 이 무한 연분수가 방정식 formula_12의 양의 실수 해임을 알 수 있기 때문이다. 코시 응집판정법
코시 응집판정법(-凝集判定法, )은 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙은 무한급수의 수렴판정법이다. 음이 아닌 실수의 감소수열에 대한 급수 기수 (수학)
수학에서, 기수(基數, )는 집합의 크기를 나타내는 수이다. 유한 집합의 크기는 자연수로 나타내어지는데, 이를 무한 집합에 대하여 일반화한 개념이다. 무한 집합의 진부분집합은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 크기를 가질 수도 있다. 모든 무한 집합이 같은 크기를 갖는 것은 아니며, 무한히 많은 크기의 무한 집합들이 있다. 미적분학
미적분학(微積分學, )은 수학의 한 분야로 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 다른 명칭은 "무한소 해석학"이다. 미적분학은 속도, 가속도 같은 일정하게 변하는 양들의 값을 구한다. 그 값들은 곡선의 기울기로 해석한다. 또 넓이, 부피, 길이 등은 곡선으로 제한된다. 여기서 "곡선"은 직선을 의미할 수도 있으므로 주의해야 한다. 또 극한을 구하는 과정을 유도하는 무한 과정 또는 궁극점(일반적으로 구하는 값)에 접근해 가는 것과 관련이 있다. 이 2가지 방법은 수학적 해석학의 토대가 되고 있다. 기하학이 모양(Shape)에 중심을 둔 학문이고 대수학이 연산과 그 활용에 대한 학문이라면, 미적분학은 변화에 중점을 둔 학문이다. 미적분학은 크게 2개의 분야로 분류되는데, 미분과 적분이 바로 그것이다. 미분은 국소적인 변화를 다루는 분야이고, 적분은 국소적인 양의 집적을 다루는 분야이다. 아미타불
"아미타불"이라는 낱말은 무량광(無量光: 헤아릴 수 없는 광명을 가진 것)의 뜻인 산스크리트어 아미타바(Amitabha)와 무량수(無量壽: 헤아릴 수 없는 수명을 가진 것)의 뜻인 산스크리트어 아미타유스(Amitayus)의 두 원어의 음사(音寫)이다. 무량광(無量光)은 완전한 지혜(반야보리)를 상징하고 무량수(無量壽)는 자비를 상징한다. 따라서 아미타불은 이 두 가지 덕성을 갖춘 부처라는 뜻이 되며, 이를 바탕으로 항상 모든 사람을 구제하는 구제불로서 활동한다는 것을 뜻한다. 기수 (수학)
순서수와 마찬가지로, 기수에 대하여 덧셈과 곱셈 등을 정의할 수 있다. 이러한 연산은 자연수에 국한하면 자연수의 연산과 같다. 무한 기수의 연산은 무한 순서수의 연산과 매우 다르며, 무한 기수 경우 이들 연산은 대부분 자명하다. 무한강하법
그러한 formula_9이 존재한다고 가정하면, formula_10는 2의 배수이므로, formula_11은 2의 배수가 되어야 한다. 그러면 formula_12인 자연수 formula_13이 존재하여야 하고(formula_13 은 정수) 식을 정리하면
가 된다. 앞과 마찬가지로 formula_16은 2의 배수이므로 formula_17인 자연수 formula_18 (formula_18 은 정수) 이 존재한다. 즉, formula_7이 방정식의 해라면 formula_21도 정수쌍이고 이 역시 방정식의 해가 된다. 직권 정류자 전동기
(직권전동기의 이론적인 무부하 운전속도는 무한대) 무작위성
무작위(無作爲, randomness, 랜덤너스), 임의(任意), 무선(無選)은 인위적인 요소가 없는 것, 규칙성이 없는 것을 의미한다. 일반적으로 주사위의 눈처럼 각 항목이 나타나는 확률이 같은 상태를 의미하며, 로또 추첨도 이와 비슷한 개념으로 적용된다. 그래서 랜덤(Random)이라고 한다. 근판정법
근판정법(根判定法, )은 무한급수의 수렴판정법으로, 다음 식을 이용해 수렴성을 판정한다.
여기서 은 상극한, 은 급수의 항이다. 변수 변환
무한 급수의 변수 변환 공식이 성립하려면, 급수가 절대 수렴하여야 한다. 수렴판정법
무한급수가 발산하는지 여부를 판단하는 가장 쉬운 방법은 급수를 구성하고 있는 수열의 n번째 항인 "a"이 "n"이 무한으로 갈 때 0으로 수렴하는지 여부를 체크하면 된다. 만약 0으로 가지 않는다면, 이 급수는 발산한다는 사실을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 그 극한값이 0으로 간다고 해도, 이 급수가 항상 수렴하는 것은 아니다. 다음의 급수의 경우 수열의 값은 0으로 수렴하지만, 급수는 수렴하지 않는다. 1−2+3−4+…
1−2+3−4+…는 다음과 같은 식으로 표현되는 무한급수이다.
위 급수는 발산한다. 즉, 위 급수의 부분합 수열 {1, -1, 2, -2, ...}이 극한값을 가지지 않는다는 뜻이다. 실제로 이 수열이 진동하며 발산한다는 것을 쉽게 이해할 수 있다. 챔퍼나운 수
챔퍼나운 수는 다음과 같은 무한급수로 정확하게 표현할 수 있다.