[STATEMENT]
lemma (in PolynRg) P_mod_diffxxx5:"\<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>;
      maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y;
      f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R;
     deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
       (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)));
  deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
  (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f;
  0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
                                        (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)));
  0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
                                         (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)));
  rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
    (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)))
    (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)));
     P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<cdot>\<^sub>r h))\<rbrakk> \<Longrightarrow>
  (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m)) \<in> carrier R \<times> carrier R  \<and>
   erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))
                       (fst (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m))) =
            erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and>
   erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))
                       (snd (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m))) =
            erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and>
     (deg R S X (fst (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))
                                     (fst (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m))))) \<and>
  P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S (Suc m)\<^esup>)) ((fst (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> m)) \<plusminus> -\<^sub>a
                             (fst (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m)))) \<and>
(deg R S X (snd (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
   (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m)))) \<le>  deg R S X f) \<and>
P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S (Suc m)\<^esup>)) ((snd (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> m)) \<plusminus> -\<^sub>a (snd (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m)))) \<and>
 P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a ((fst (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m))) \<cdot>\<^sub>r (snd (Hpr\<^bsub>R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m)))))"
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))
[PROOF STEP]
apply (cut_tac subring, frule subring_Ring,
       cut_tac ring_is_ag,
       frule mem_subring_mem_ring[of S t], assumption+,
       frule Ring.maximal_ideal_ideal[of S "S \<diamondsuit>\<^sub>p t"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))
[PROOF STEP]
apply (induct_tac m)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0 \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc 0)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc 0))
 2. \<And>n. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc n))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))
[PROOF STEP]
apply (simp del:Hpr_0 npow_suc)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0 \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0)) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc 0)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> 0))
 2. \<And>n. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc n))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))
[PROOF STEP]
apply (simp only:Hpr_0)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (fst (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (snd (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc 0)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))
 2. \<And>n. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc n))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))
[PROOF STEP]
apply (frule P_mod_diffxxx4[of t R' Y f "(g, h)" "Suc 0"],
           assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (10 subgoals):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R
 2. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)))
 3. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f
 4. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)))
 5. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)))
 6. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)))
 7. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (g, h) \<cdot>\<^sub>r snd (g, h))
 8. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> 0 < Suc 0
 9. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (fst (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (snd (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc 0)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (fst (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (snd (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc 0)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))
 10. \<And>n. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc n))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))
[PROOF STEP]
apply (simp add:cart_prod_split, simp+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (4 subgoals):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (1\<^sub>r\<^bsub>S\<^esub> \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>S\<^esub> t)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h)
 2. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)\<rbrakk> \<Longrightarrow> 0 < Suc 0
 3. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (fst (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (snd (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc 0)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (fst (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (snd (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc 0)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))
 4. \<And>n. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc n))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))
[PROOF STEP]
apply (simp add:Ring.ring_l_one, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (fst (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (snd (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc 0)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (fst (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc 0\<^esup>)) (snd (g, h) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc 0)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))
 2. \<And>n. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc n))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))
[PROOF STEP]
apply (simp add:Ring.ring_l_one, (erule conjE)+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (g \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))); deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (h \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>S\<^esub> t)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))\<rbrakk> \<Longrightarrow> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h
 2. \<And>n. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc n))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))
[PROOF STEP]
apply (frule P_mod_diff[THEN sym, of "S \<diamondsuit>\<^sub>p t" R' Y g
                      "fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> (Suc 0) (g, h))"], assumption+,
        simp add:cart_prod_fst, rotate_tac -1, drule sym, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (g \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))); deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (h \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>S\<^esub> t)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h)))\<rbrakk> \<Longrightarrow> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc 0 (g, h))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h
 2. \<And>n. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc n))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))
[PROOF STEP]
apply (frule P_mod_diff[THEN sym, of "S \<diamondsuit>\<^sub>p t" R' Y h
                      "snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> (Suc 0) (g, h))"], assumption+,
        simp add:cart_prod_snd, rotate_tac -1, drule sym, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>n. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc n\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc n)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc n) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc n))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc n)))
[PROOF STEP]
apply ((erule conjE)+, rename_tac m)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)); deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac m = "Suc (Suc m)" and gh = "Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m)" in
       P_mod_diffxxx4[of t R' Y f], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (6 subgoals):
 1. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)); deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))\<rbrakk> \<Longrightarrow> 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)))
 2. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)); deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))\<rbrakk> \<Longrightarrow> 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)))
 3. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)); deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))\<rbrakk> \<Longrightarrow> rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)))
 4. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)); deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))
 5. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)); deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))\<rbrakk> \<Longrightarrow> 0 < Suc (Suc m)
 6. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)); deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))
[PROOF STEP]
apply (simp, simp, simp, simp del:npow_suc, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)); deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<and> deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))
[PROOF STEP]
apply (erule conjE)+
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; (g, h) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (g, h)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); deg R S X (snd (g, h)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h))) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)); deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hen\<^bsub> R S X t R' Y f\<^esub> Suc (Suc m) Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))\<rbrakk> \<Longrightarrow> Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m) \<in> carrier R \<times> carrier R \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (g, h)) \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (g, h)) \<and> deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<and> deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))
[PROOF STEP]
apply (simp del:npow_suc del:Hpr_Suc
                add:Hpr_Suc[THEN sym, of R S X t R' Y f _ g h])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h; deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m) \<in> carrier R \<times> carrier R; deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))\<rbrakk> \<Longrightarrow> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h
[PROOF STEP]
apply (thin_tac "deg R S X g
         \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
            (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)",
       thin_tac "deg R S X h +
         deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
         \<le> deg R S X f",
       thin_tac "0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
              (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)",
       thin_tac "0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
              (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)",
       thin_tac "rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)",
       thin_tac "deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m))
         \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
            (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)",
       thin_tac "deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) +
         deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
         \<le> deg R S X f",
       thin_tac "deg R S X (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))
         \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
            (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))
              (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))))",
       thin_tac "deg R S X (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) +
         deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))
            (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))))
         \<le> deg R S X f")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m) \<in> carrier R \<times> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))\<rbrakk> \<Longrightarrow> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h
[PROOF STEP]
apply (frule_tac g = "fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m)) \<plusminus> -\<^sub>a (fst
       (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc (Suc m))))" and n = "Suc m" in P_mod_n_1
       [of t], assumption+,
       (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:cart_prod_fst,
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp add:cart_prod_fst,
       assumption),
       (frule_tac x = "Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m" in cart_prod_fst[of _
       "carrier R" "carrier R"],
       frule_tac x = "Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc (Suc m))" in cart_prod_fst[of _
       "carrier R" "carrier R"]),
       (frule_tac g1 = "fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m))" and
       h1 = "fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc (Suc m)))" in
       P_mod_diff[THEN sym, of "S \<diamondsuit>\<^sub>p t" R' Y], assumption+))
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m) \<in> carrier R \<times> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<in> carrier R; fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<in> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))))\<rbrakk> \<Longrightarrow> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h
[PROOF STEP]
apply (frule_tac g = "snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m)) \<plusminus> -\<^sub>a (snd
       (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc (Suc m))))" and n = "Suc m" in P_mod_n_1
       [of t], assumption+,
       (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:cart_prod_snd,
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp add:cart_prod_snd,
       assumption),
       (frule_tac x = "Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m" in cart_prod_snd[of _
       "carrier R" "carrier R"],
       frule_tac x = "Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc (Suc m))" in cart_prod_snd[of _
       "carrier R" "carrier R"]),
       (frule_tac g1 = "snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc m))" and
       h1 = "snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> (Suc (Suc m)))" in
       P_mod_diff[THEN sym, of "S \<diamondsuit>\<^sub>p t" R' Y], assumption+))
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>m. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R \<and> h \<in> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); Subring R S; Ring S; aGroup R; t \<in> carrier R; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m \<in> carrier R \<times> carrier R; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)); Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m) \<in> carrier R \<times> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc m)\<^esup>)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc (Suc (Suc m))\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<cdot>\<^sub>r snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<in> carrier R; fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<in> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)))); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))); snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<in> carrier R; snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m)) \<in> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m) \<plusminus> -\<^sub>a snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc m)) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))))\<rbrakk> \<Longrightarrow> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (fst (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (snd (Hpr\<^bsub> R S X t R' Y f g h\<^esub> Suc (Suc m))) = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h
[PROOF STEP]
apply simp
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal:
No subgoals!
[PROOF STEP]
done