[STATEMENT]
lemma (in PolynRg) P_mod_diffxxx2:"\<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>;
   maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y;
   f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R;
  deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
                          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g);
  deg R S X h +
  deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
                                      \<le> deg R S X f;
  0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
        (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g);
  0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
       (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h);
  rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
     (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
        (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h);
  P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<cdot>\<^sub>r h)); 0 < m\<rbrakk> \<Longrightarrow>
\<exists>g1 h1. g1 \<in>carrier R \<and> h1 \<in> carrier R \<and>
     (deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
       (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1)) \<and>
  P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and>  (deg R S X h1 +
  deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1)
      \<le> deg R S X f) \<and>
        P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and>
        P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S (Suc m)\<^esup>)) (f \<plusminus> (-\<^sub>a (g1 \<cdot>\<^sub>r h1)))"
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1 h1. g1 \<in> carrier R \<and> h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1)
[PROOF STEP]
apply (cut_tac subring, frule subring_Ring,
       cut_tac ring_is_ag,
       frule Ring.residue_field_cd[of S "S \<diamondsuit>\<^sub>p t"], assumption+,
       frule Ring.maximal_ideal_ideal[of "S" "S \<diamondsuit>\<^sub>p t"], assumption+,
       frule pj_Hom[of "S" "S \<diamondsuit>\<^sub>p t"], assumption+,
       frule mem_subring_mem_ring[of S t], assumption+,
       frule Ring.qring_ring[of S "S \<diamondsuit>\<^sub>p t"], assumption+,
       frule  PolynRg.pol_nonzero[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y
         "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g"],
       rule erH_mem, assumption+,
       frule erH_rHom_nonzero[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y "pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" "g"],
       assumption+, simp add:aless_imp_le)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); (0 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) = (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>); g \<noteq> \<zero>\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1 h1. g1 \<in> carrier R \<and> h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1)
[PROOF STEP]
apply (frule PolynRg.pol_nonzero[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y
        "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h"],
       rule erH_mem, assumption+,
       frule erH_rHom_nonzero[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y "pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" "h"],
       assumption+, simp add:aless_imp_le, simp del:npow_suc add:aless_imp_le)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; h \<noteq> \<zero>\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (
       frule pol_nonzero[THEN sym, of "h"], simp del:npow_suc,
       frule aadd_pos_poss[of "deg R S X h" "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)"], assumption+,
       frule aless_le_trans[of "0" "(deg R S X h) +
           (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g))"
          "deg R S X f"], assumption+,
       frule pol_nonzero[of f], simp del:npow_suc add:aless_imp_le)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; 0 < deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R S X f; f \<noteq> \<zero>\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (thin_tac "0 < deg R S X f",
         thin_tac "0 < deg R S X h +
         deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (frule Pmod_0_principal[of "t^\<^bsup>S m\<^esup>" "f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<cdot>\<^sub>r h)"],
        rule Ring.npClose, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>\<rbrakk> \<Longrightarrow> f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R
 2. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h)
 3. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; \<exists>ha\<in>carrier R. f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ha\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+,
       rule ring_tOp_closed, assumption+,
       erule bexE, rename_tac ra)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
(******* deg (t^\<^sup>S\<^sup> \<^sup>m) ra \<le> deg f ******)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (frule deg_mult_pols1 [of g h], assumption+,
       frule aadd_le_mono[of "deg R S X g" "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)"
              "deg R S X h"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h; deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) + deg R S X h\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (simp only:aadd_commute[of "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)"
             "deg R S X h"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h; deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (frule ale_trans[of "deg R S X g + deg R S X h" "deg R S X h +
       deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
       (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)"  "deg R S X f"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h; deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X f\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (thin_tac "deg R S X g + deg R S X h
          \<le> deg R S X h +
            deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h; deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X f\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac ring_tOp_closed[of g h], assumption+,
        frule deg_minus_eq1[of "g \<cdot>\<^sub>r h"],
        frule polyn_deg_add4[of "f" "-\<^sub>a (g \<cdot>\<^sub>r h)" "deg_n R S X f"],
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h; deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X f; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X (-\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X f \<le> an (deg_n R S X f)
 2. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h; deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X f; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X (-\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (-\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h) \<le> an (deg_n R S X f)
 3. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h; deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X f; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X (-\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h); deg R S X (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h) \<le> an (deg_n R S X f)\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (subst deg_an[THEN sym], assumption+, simp del:npow_suc)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h; deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X f; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X (-\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (-\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h) \<le> an (deg_n R S X f)
 2. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h; deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X f; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X (-\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h); deg R S X (f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h) \<le> an (deg_n R S X f)\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (simp add:deg_an[THEN sym], simp del:npow_suc add:deg_an[THEN sym],
         thin_tac "deg R S X (g \<cdot>\<^sub>r h) = deg R S X g + deg R S X h",
         thin_tac "deg R S X g + deg R S X h \<le> deg R S X f",
         thin_tac "deg R S X (-\<^sub>a (g \<cdot>\<^sub>r h)) = deg R S X g + deg R S X h")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) \<le> deg R S X f\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
(******* deg (t^\<^sup>S\<^sup> \<^sup>m) ra \<le> deg f  done *** next show deg ra \<le> deg f ***)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) \<le> deg R S X f\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (frule Ring.npClose[of S t m], assumption,
         frule Idomain.idom_potent_nonzero[of S t m], assumption+,
         frule_tac p = ra in const_times_polyn1[of _ "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+,
         simp del:npow_suc)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
(******************  got deg ra \<le> deg f ***********************)

(******  make g1 and h1 ******)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac h =
       "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra" in
       PolynRg.rel_prime_equation[of R' "(S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))" "Y"
        "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g"
        "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h"],
       assumption+,
       simp del:npow_suc add:erH_mem, simp del:npow_suc add:erH_mem,
       assumption+,
       simp del:npow_suc add:erH_mem)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; \<exists>u\<in>carrier R'. \<exists>v\<in>carrier R'. deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)) \<and> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<and> u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (erule bexE, erule bexE, (erule conjE)+,
      frule_tac erH_mem[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y
                     "pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" "g"], assumption+,
      frule_tac erH_mem[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y
                      "pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" "h"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u v. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u \<in> carrier R'; v \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (rename_tac ra u' v')
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v'. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac g' = v' in erH_inv[of "S \<diamondsuit>\<^sub>p t" R' Y], assumption+,
        simp add:PolynRg.is_Ring[of R'], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v'. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; \<exists>g\<in>carrier R. deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = v'\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac g' = u' in erH_inv[of "S \<diamondsuit>\<^sub>p t" R' Y ], assumption+,
        simp add:PolynRg.is_Ring[of R'], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v'. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; \<exists>g\<in>carrier R. deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = v'; \<exists>g\<in>carrier R. deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<and> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = u'\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply ((erule bexE)+, rename_tac ra u' v' v u, (erule conjE)+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); 0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (
    frule_tac p1 = u in erH_mult[THEN sym, of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y
        "pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)"  _ "g"], assumption+,
    frule_tac p1 = v in erH_mult[THEN sym, of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y
        "pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)"  _ "h"], assumption+,
    thin_tac "0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)",
    thin_tac "0 < deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)",
    thin_tac "rel_prime_pols R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
[PROOF STEP]
apply (subgoal_tac "g \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R \<and>
         h \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R \<and>
         deg R S X (g \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r v) \<le>  deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
                          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
                            (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r v))  \<and>
         P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r v)) \<and>
         deg R S X (h \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u) +  deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))
            (g \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and>
         P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) ( h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u)) \<and>
         P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S (Suc m)\<^esup>))
         ( f \<plusminus> -\<^sub>a ((g \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u)))")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R \<and> h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R \<and> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R \<and> h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R \<and> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (thin_tac "deg R S X h +
        deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
        \<le> deg R S X f",
      thin_tac "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'
        \<le> amax
           (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) -
            deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g))
           (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h))",
      thin_tac "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)",
      thin_tac "u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub>
        v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h =
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra",
       thin_tac "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g
         \<in> carrier R'",
       thin_tac "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h
          \<in> carrier R'",
       thin_tac "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'",
       thin_tac "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'",
       thin_tac "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub>
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g =
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g)",
       thin_tac "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub>
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h =
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h)")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R \<and> h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R \<and> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>g1. g1 \<in> carrier R \<and> (\<exists>h1. h1 \<in> carrier R \<and> deg R S X g1 \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a g1) \<and> deg R S X h1 + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g1) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a h1) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a g1 \<cdot>\<^sub>r h1))
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R \<and> h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R \<and> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply blast
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R \<and> h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R \<and> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule mem_subring_mem_ring[of "S" "t^\<^bsup>S  m\<^esup>"], assumption)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R \<and> h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R \<and> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule conjI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R \<and> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        rule ring_tOp_closed, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R \<and> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule conjI,
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        rule ring_tOp_closed, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule Ring.a_in_principal[of "S" "t"], assumption+,
       frule Ring.maximal_ideal_ideal[of "S" "S \<diamondsuit>\<^sub>p t"], assumption+,
       frule Ring.ideal_npow_closed[of "S" "S \<diamondsuit>\<^sub>p t" "t" "m"], assumption+,
       frule PolynRg.is_Ring[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y],
       frule Ring.ring_is_ag[of R'],
       frule erH_rHom[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y "pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule conjI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v))
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule pHom_dec_deg[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y
      "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))" g], assumption+,
       frule_tac i = "deg R S X v" and j = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'" and
        k = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)" in ale_trans,
      assumption,
      thin_tac "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
            (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) -
            deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g))
           (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h))",
       thin_tac "u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub>
        v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h =
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra",
        thin_tac "deg R S X h +
        deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
        \<le> deg R S X f")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X g; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v))
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (subst P_mod_erH[THEN sym, of "S \<diamondsuit>\<^sub>p t" "R'" "Y" "g" _  "t^\<^bsup>S m\<^esup>"],
       assumption+,
       thin_tac "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
                (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
                   \<le> deg R S X g")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac p = v in const_times_polyn1[of _ "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+,
       frule_tac q = "(t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r v" in polyn_deg_add4[of "g" _
          "deg_n R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (5 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) = deg R S X v\<rbrakk> \<Longrightarrow> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) = deg R S X v\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X g \<le> an (deg_n R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g))
 3. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) = deg R S X v\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> an (deg_n R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g))
 4. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) = deg R S X v; deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> an (deg_n R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g))\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
 5. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule ring_tOp_closed, assumption+,
        simp del:npow_suc add:PolynRg.deg_an[THEN sym],
        simp add:PolynRg.deg_an[THEN sym],
        simp add:PolynRg.deg_an[THEN sym])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<and> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule conjI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v))
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule Ring.principal_ideal[of S "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+,
        frule Ring.a_in_principal[of S "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v))
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac y = v in ring_tOp_closed[of "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+,
        subst aGroup.ag_p_inv, assumption+,
        frule aGroup.ag_mOp_closed[of "R" "g"], assumption+,
        frule_tac x = "(t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r v" in aGroup.ag_mOp_closed[of "R"],
        assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R; -\<^sub>a g \<in> carrier R; -\<^sub>a t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (g \<plusminus> (-\<^sub>a g \<plusminus> -\<^sub>a t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v))
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym], assumption+,
        subst aGroup.ag_r_inv1[of "R"], assumption+,
        subst aGroup.ag_l_zero[of "R"], assumption+,
        rule P_mod_minus, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R; -\<^sub>a g \<in> carrier R; -\<^sub>a t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule_tac g = "(t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r v" in Pmod0_principal_rev[of
       "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R; -\<^sub>a g \<in> carrier R; -\<^sub>a t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>h\<in>carrier R. t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r h
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply blast
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule conjI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v)) \<le> deg R S X f
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (subst P_mod_erH[THEN sym, of "S \<diamondsuit>\<^sub>p t" R' Y g _ "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+,
       thin_tac "P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra)",
       thin_tac "f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<cdot>\<^sub>r h) = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra",
       thin_tac
        "u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub>
         v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h =
         erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (case_tac "
         (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
          (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) -
          deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) \<le>
         (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h))")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; \<not> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 3. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (simp add:amax_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; \<not> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 3. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac i = "deg R S X u" and j = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'" and
       k = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)" in ale_trans,
          assumption+,
       frule pHom_dec_deg[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y
          "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))" h], assumption+,
       frule_tac i = "deg R S X u" and j = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
        (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)" and
           k = "deg R S X h" in ale_trans, assumption+,
       frule_tac p = u and c = "t^\<^bsup>S m\<^esup>" in const_times_polyn1,
             assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h) \<le> deg R S X h; deg R S X u \<le> deg R S X h; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) = deg R S X u\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; \<not> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 3. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac q = "(t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u" in polyn_deg_add4[of h _  "deg_n R S X h"],
       rule ring_tOp_closed, assumption+,
       subst deg_an[THEN sym], assumption+, rule ale_refl,
       subst deg_an[THEN sym], assumption+,
       simp, frule deg_an[THEN sym, of h], assumption+, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h) \<le> deg R S X h; deg R S X u \<le> deg R S X h; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) = deg R S X u; deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) \<le> deg R S X h; an (deg_n R S X h) = deg R S X h\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; \<not> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 3. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule_tac x = "deg R S X ( h \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u)" in aadd_le_mono[of _
       "deg R S X h" "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)"],
       rule_tac i = "deg R S X ( h \<plusminus> (t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u) + (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))
         Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g))" in
         ale_trans[of _ "deg R S X h + (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g))" "deg R S X f"],
         assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; \<not> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (simp add:amax_def)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; \<not> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (thin_tac "\<not> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) -
          deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
          \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (subst aplus_le_aminus[of _ "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
       (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)" "deg R S X f"])
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (6 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) \<in> Z\<^sub>-\<^sub>\<infinity>
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<in> Z\<^sub>-\<^sub>\<infinity>
 3. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X f \<in> Z\<^sub>-\<^sub>\<infinity>
 4. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<in> Z\<^sub>-\<^sub>\<infinity>
 5. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) \<le> deg R S X f - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
 6. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule deg_in_aug_minf,
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        rule ring_tOp_closed, assumption+,
        rule PolynRg.deg_in_aug_minf, assumption+,
        rule deg_in_aug_minf, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<in> Z\<^sub>-\<^sub>\<infinity>
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) \<le> deg R S X f - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
 3. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (subst PolynRg.deg_an, assumption+, simp add:minus_an_in_aug_minf,
        frule_tac y = u in ring_tOp_closed[of "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+,
        frule_tac q = "(t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u" in polyn_deg_add5[of h _
         "deg R S X f - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)"],
         assumption+,
        frule deg_in_aug_minf[of h],
        subst aplus_le_aminus[THEN sym, of "deg R S X h"
         "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)"
        "deg R S X f"], assumption+,
        rule PolynRg.deg_in_aug_minf, assumption+,
        rule deg_in_aug_minf, assumption+,
        subst PolynRg.deg_an, assumption+,
        simp add:minus_an_in_aug_minf,
        assumption)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (3 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) \<le> deg R S X f - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R; deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) \<le> deg R S X f - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)\<rbrakk> \<Longrightarrow> deg R S X (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u) \<le> deg R S X f - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)
 3. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (subst const_times_polyn1, assumption+,
        frule_tac i = "deg R S X u" and j = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'" and
         k = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
              (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) -
              deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
               (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)" in
         ale_trans, assumption+,
        frule_tac p = ra in pHom_dec_deg[of R' "S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)" Y
         "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t))"], assumption+,
        frule_tac i = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra)" and
         j = "deg R S X ra" and k = "deg R S X f" in ale_trans, assumption+,
        frule_tac a = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra)" and
          a' = "deg R S X f" and b = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)" in
          adiff_le_adiff,
        frule_tac i = "deg R S X u" and j = "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) -
           deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)" and
          k = "deg R S X f - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)" in
           ale_trans, assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u)) \<and> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule conjI)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (h \<plusminus> -\<^sub>a (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (frule Ring.principal_ideal[of "S" "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+,
        frule Ring.a_in_principal[of "S" "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+,
        frule_tac y = u in ring_tOp_closed[of "t^\<^bsup>S m\<^esup>"], assumption+,
        subst aGroup.ag_p_inv, assumption+,
        frule aGroup.ag_mOp_closed[of "R" "g"], assumption+,
        frule_tac x = "(t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u" in aGroup.ag_mOp_closed[of "R"],
          assumption+,
        subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym], assumption+,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+,
        subst aGroup.ag_r_inv1[of "R"], assumption+,
        subst aGroup.ag_l_zero[of "R"], assumption+,
        rule P_mod_minus, assumption+,
        rule_tac g = "(t^\<^bsup>S m\<^esup>) \<cdot>\<^sub>r u" in Pmod0_principal_rev[of "t^\<^bsup>S m\<^esup>"],
         assumption+,
        thin_tac "deg R S X g
           \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
              (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)",
        thin_tac "deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
         (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f",
        thin_tac "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax
           (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) -
            deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g))
           (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
             (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h))",
        thin_tac "deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y
           (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)",
        thin_tac "
        u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub>
        v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h =
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra",
        thin_tac "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub>
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g =
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g)",
        thin_tac "erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub>
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h =
        erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h)")
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (2 subgoals):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R; -\<^sub>a g \<in> carrier R; -\<^sub>a t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u \<in> carrier R\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<exists>h\<in>carrier R. t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r h
 2. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply blast
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S Suc m\<^esup>)) (f \<plusminus> -\<^sub>a (g \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r v) \<cdot>\<^sub>r (h \<plusminus> t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r u))
[PROOF STEP]
apply (rule_tac u = u and v = v and ra = ra in P_mod_diffxxx1[of t R' Y f g h],
       assumption+)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal (1 subgoal):
 1. \<And>ra u' v' v u. \<lbrakk>Idomain S; t \<in> carrier S; t \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; maximal_ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); PolynRg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y; f \<in> carrier R; g \<in> carrier R; h \<in> carrier R; deg R S X g \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); deg R S X h + deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g) \<le> deg R S X f; P_mod R S X (S \<diamondsuit>\<^sub>p (t^\<^bsup>S m\<^esup>)) (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra); 0 < m; Subring R S; Ring S; aGroup R; Corps (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) \<in> rHom S (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); t \<in> carrier R; Ring (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; g \<noteq> \<zero>; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<noteq> \<zero>\<^bsub>R'\<^esub>; 0 \<le> deg R S X h; h \<noteq> \<zero>; f \<noteq> \<zero>; ra \<in> carrier R; f \<plusminus> -\<^sub>a g \<cdot>\<^sub>r h = t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra; g \<cdot>\<^sub>r h \<in> carrier R; deg R S X ra \<le> deg R S X f; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier S; t^\<^bsup>S m\<^esup> \<noteq> \<zero>\<^bsub>S\<^esub>; deg R S X (t^\<^bsup>S m\<^esup> \<cdot>\<^sub>r ra) = deg R S X ra; u' \<in> carrier R'; v' \<in> carrier R'; deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u' \<le> amax (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra) - deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g)) (deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h)); deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v' \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g); u' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> v' \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<in> carrier R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h \<in> carrier R'; v \<in> carrier R; u \<in> carrier R; deg R S X v \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y v'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v = v'; deg R S X u \<le> deg R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u = u'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (u \<cdot>\<^sub>r g); erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) (v \<cdot>\<^sub>r h); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> carrier R; t \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; ideal S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t); t^\<^bsup>S m\<^esup> \<in> S \<diamondsuit>\<^sub>p t; Ring R'; aGroup R'; erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) \<in> pHom R S X, R' S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t) Y\<rbrakk> \<Longrightarrow> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) u \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) g \<plusminus>\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) v \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>R'\<^esub> erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) h = erH R S X R' (S /\<^sub>r (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) Y (pj S (S \<diamondsuit>\<^sub>p t)) ra
[PROOF STEP]
apply (rotate_tac -12,
       drule sym, drule sym, simp)
[PROOF STATE]
proof (prove)
goal:
No subgoals!
[PROOF STEP]
done