```python
# This example is from
# https://github.com/Pyomo/pyomo/blob/master/examples/dae/Optimal_Control.py
#
```

$$
\begin{align}
\min \;\;&x_2(t_f) \\
\frac{dx_1}{dt} &= u \\
\frac{dx_2}{dt} &= x_1^2 + u^2
\end{align} \\
x_1(0) = 1, x_2(0) = 0, t_f = 0
$$

```python
import pyomo.environ as pyo
import pyomo.dae as pyde
```

```python
m = pyo.ConcreteModel()
```

```python
m.t = pyde.ContinuousSet(bounds = (0, 1))
```

```python
m.x1 = pyo.Var(m.t, bounds = (0, 1))
m.x2 = pyo.Var(m.t, bounds = (0, 1))
m.u = pyo.Var(m.t, initialize = 0)

m.x1dot = pyde.DerivativeVar(m.x1, wrt = m.t)
m.x2dot = pyde.DerivativeVar(m.x2, wrt = m.t)
```

```python
m.obj = pyo.Objective(expr = m.x2[1], sense = pyo.minimize)
```

```python
def _x1dot(M, i):
    if i == 0:
        return pyo.Constraint.Skip
    else:
        expr = M.x1dot[i] == m.u[i]
    return expr
m.x1dot_cons = pyo.Constraint(m.t, rule = _x1dot)
```

```python
def _x2dot(M, i):
    if i == 0:
        return pyo.Constraint.Skip
    else:
        expr = M.x2dot[i] == m.x1[i]**2 + m.u[i]**2
    return expr
m.x2dot_cons = pyo.Constraint(m.t, rule = _x2dot)
```

```python
#def _init(M):
#    yield M.x1[0] == 1
#    yield M.x2[0] == 0
#    yield pyo.ConstraintList.End
#m.init_conditions = pyo.ConstraintList(rule = _init)
```

```python
m.init_x1 = pyo.Constraint(expr = m.x1[0] == 1)
m.init_x2 = pyo.Constraint(expr = m.x2[0] == 0)
```

```python
m.pprint()
```

    3 Var Declarations
        u : Size=2, Index=t
            Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
              0 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
              1 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
        x1 : Size=2, Index=t
            Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
              0 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
              1 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
        x2 : Size=2, Index=t
            Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
              0 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
              1 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals

    1 Objective Declarations
        obj : Size=1, Index=None, Active=True
            Key  : Active : Sense    : Expression
            None :   True : minimize :      x2[1]

    4 Constraint Declarations
        init_x1 : Size=1, Index=None, Active=True
            Key  : Lower : Body  : Upper : Active
            None :   1.0 : x1[0] :   1.0 :   True
        init_x2 : Size=1, Index=None, Active=True
            Key  : Lower : Body  : Upper : Active
            None :   0.0 : x2[0] :   0.0 :   True
        x1dot_cons : Size=1, Index=t, Active=True
            Key : Lower : Body            : Upper : Active
              1 :   0.0 : x1dot[1] - u[1] :   0.0 :   True
        x2dot_cons : Size=1, Index=t, Active=True
            Key : Lower : Body                            : Upper : Active
              1 :   0.0 : x2dot[1] - (x1[1]**2 + u[1]**2) :   0.0 :   True

    1 ContinuousSet Declarations
        t : Dim=0, Dimen=1, Size=2, Domain=None, Ordered=Sorted, Bounds=(0, 1)
            [0, 1]

    2 DerivativeVar Declarations
        x1dot : Size=2, Index=t
            Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
              0 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
              1 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
        x2dot : Size=2, Index=t
            Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
              0 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
              1 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals

    11 Declarations: t x1 x2 u x1dot x2dot obj x1dot_cons x2dot_cons init_x1 init_x2

```python
# Discretize model using Orthogonal Collocation
discretizer = pyo.TransformationFactory('dae.collocation')
discretizer.apply_to(m,nfe=20,ncp=3,scheme='LAGRANGE-RADAU')
m.pprint()
```

    5 Var Declarations
        u : Size=61, Index=t
            Key      : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
                   0 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.007753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.032247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.05 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.057753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.082247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.1 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.107753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.132247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.15 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.157753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.182247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.2 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.207753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.232247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.25 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.257753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.282247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.3 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.307753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.332247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.35 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.357753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.382247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.4 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.407753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.432247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.45 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.457753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.482247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.5 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.507753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.532247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.55 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.557753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.582247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.6 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.607753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.632247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.65 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.657753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.682247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.7 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.707753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.732247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.75 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.757753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.782247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.8 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.807753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.832247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.85 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.857753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.882247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.9 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.907753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.932247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.95 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.957753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.982247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                   1 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
        x1 : Size=61, Index=t
            Key      : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
                   0 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.007753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.032247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.05 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.057753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.082247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.1 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.107753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.132247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.15 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.157753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.182247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.2 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.207753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.232247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.25 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.257753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.282247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.3 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.307753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.332247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.35 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.357753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.382247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.4 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.407753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.432247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.45 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.457753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.482247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.5 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.507753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.532247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.55 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.557753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.582247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.6 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.607753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.632247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.65 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.657753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.682247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.7 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.707753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.732247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.75 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.757753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.782247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.8 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.807753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.832247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.85 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.857753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.882247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.9 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.907753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.932247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.95 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.957753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.982247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                   1 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
        x1dot : Size=61, Index=t
            Key      : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
                   0 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.007753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.032247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.05 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.057753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.082247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.1 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
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    1 Objective Declarations
        obj : Size=1, Index=None, Active=True
            Key  : Active : Sense    : Expression
            None :   True : minimize :      x2[1]

    6 Constraint Declarations
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            Key  : Lower : Body  : Upper : Active
            None :   1.0 : x1[0] :   1.0 :   True
        init_x2 : Size=1, Index=None, Active=True
            Key  : Lower : Body  : Upper : Active
            None :   0.0 : x2[0] :   0.0 :   True
        x1dot_cons : Size=60, Index=t, Active=True
            Key      : Lower : Body                          : Upper : Active
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            0.982247 :   0.0 :     x2dot[0.982247] - (34.7877538267963*x2[0.95] - 71.35680169380802*x2[0.957753] + 15.505102572168177*x2[0.982247] + 21.063945294843613*x2[1]) :   0.0 :   True
                   1 :   0.0 :              x2dot[1] - (-59.99999999999981*x2[0.95] + 110.639452948436*x2[0.957753] - 150.639452948436*x2[0.982247] + 99.99999999999993*x2[1]) :   0.0 :   True

    1 ContinuousSet Declarations
        t : Dim=0, Dimen=1, Size=61, Domain=None, Ordered=Sorted, Bounds=(0, 1)
            [0, 0.007753, 0.032247, 0.05, 0.057753, 0.082247, 0.1, 0.107753, 0.132247, 0.15, 0.157753, 0.182247, 0.2, 0.207753, 0.232247, 0.25, 0.257753, 0.282247, 0.3, 0.307753, 0.332247, 0.35, 0.357753, 0.382247, 0.4, 0.407753, 0.432247, 0.45, 0.457753, 0.482247, 0.5, 0.507753, 0.532247, 0.55, 0.557753, 0.582247, 0.6, 0.607753, 0.632247, 0.65, 0.657753, 0.682247, 0.7, 0.707753, 0.732247, 0.75, 0.757753, 0.782247, 0.8, 0.807753, 0.832247, 0.85, 0.857753, 0.882247, 0.9, 0.907753, 0.932247, 0.95, 0.957753, 0.982247, 1]

    13 Declarations: t x1 x2 u x1dot x2dot obj x1dot_cons x2dot_cons init_x1 init_x2 x1dot_disc_eq x2dot_disc_eq

```python
discretizer.reduce_collocation_points(m,var=m.u,ncp=1,contset=m.t)
m.pprint()
```

    1 Set Declarations
        u_interpolation_constraints_index : Dim=0, Dimen=1, Size=40, Domain=None, Ordered=False, Bounds=None
            [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40]

    5 Var Declarations
        u : Size=61, Index=t
            Key      : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
                   0 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.007753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.032247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                0.05 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.057753 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
            0.082247 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
                 0.1 :  None :     0 :  None : False : False :  Reals
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            0.257753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.282247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.3 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.307753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.332247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.35 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.357753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
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                 0.4 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
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                0.45 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
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                 0.6 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
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            0.632247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
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                 0.7 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.707753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.732247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.75 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.757753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.782247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.8 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.807753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.832247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.85 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.857753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.882247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                 0.9 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.907753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.932247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                0.95 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.957753 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
            0.982247 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
                   1 :     0 :  None :     1 : False :  True :  Reals
        x2dot : Size=61, Index=t
            Key      : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
                   0 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.007753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.032247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.05 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.057753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.082247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.1 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.107753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.132247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.15 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.157753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.182247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.2 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.207753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.232247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.25 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.257753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.282247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.3 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.307753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.332247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.35 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.357753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.382247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.4 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.407753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.432247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.45 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.457753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.482247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.5 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.507753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.532247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.55 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.557753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.582247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.6 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.607753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.632247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.65 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.657753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.682247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.7 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.707753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.732247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.75 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.757753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.782247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.8 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.807753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.832247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.85 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.857753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.882247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                 0.9 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.907753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.932247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                0.95 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.957753 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
            0.982247 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals
                   1 :  None :  None :  None : False :  True :  Reals

    1 Objective Declarations
        obj : Size=1, Index=None, Active=True
            Key  : Active : Sense    : Expression
            None :   True : minimize :      x2[1]

    7 Constraint Declarations
        init_x1 : Size=1, Index=None, Active=True
            Key  : Lower : Body  : Upper : Active
            None :   1.0 : x1[0] :   1.0 :   True
        init_x2 : Size=1, Index=None, Active=True
            Key  : Lower : Body  : Upper : Active
            None :   0.0 : x2[0] :   0.0 :   True
        u_interpolation_constraints : Size=40, Index=u_interpolation_constraints_index, Active=True
            Key : Lower : Body                  : Upper : Active
              1 :   0.0 : u[0.007753] - u[0.05] :   0.0 :   True
              2 :   0.0 : u[0.032247] - u[0.05] :   0.0 :   True
              3 :   0.0 :  u[0.057753] - u[0.1] :   0.0 :   True
              4 :   0.0 :  u[0.082247] - u[0.1] :   0.0 :   True
              5 :   0.0 : u[0.107753] - u[0.15] :   0.0 :   True
              6 :   0.0 : u[0.132247] - u[0.15] :   0.0 :   True
              7 :   0.0 :  u[0.157753] - u[0.2] :   0.0 :   True
              8 :   0.0 :  u[0.182247] - u[0.2] :   0.0 :   True
              9 :   0.0 : u[0.207753] - u[0.25] :   0.0 :   True
             10 :   0.0 : u[0.232247] - u[0.25] :   0.0 :   True
             11 :   0.0 :  u[0.257753] - u[0.3] :   0.0 :   True
             12 :   0.0 :  u[0.282247] - u[0.3] :   0.0 :   True
             13 :   0.0 : u[0.307753] - u[0.35] :   0.0 :   True
             14 :   0.0 : u[0.332247] - u[0.35] :   0.0 :   True
             15 :   0.0 :  u[0.357753] - u[0.4] :   0.0 :   True
             16 :   0.0 :  u[0.382247] - u[0.4] :   0.0 :   True
             17 :   0.0 : u[0.407753] - u[0.45] :   0.0 :   True
             18 :   0.0 : u[0.432247] - u[0.45] :   0.0 :   True
             19 :   0.0 :  u[0.457753] - u[0.5] :   0.0 :   True
             20 :   0.0 :  u[0.482247] - u[0.5] :   0.0 :   True
             21 :   0.0 : u[0.507753] - u[0.55] :   0.0 :   True
             22 :   0.0 : u[0.532247] - u[0.55] :   0.0 :   True
             23 :   0.0 :  u[0.557753] - u[0.6] :   0.0 :   True
             24 :   0.0 :  u[0.582247] - u[0.6] :   0.0 :   True
             25 :   0.0 : u[0.607753] - u[0.65] :   0.0 :   True
             26 :   0.0 : u[0.632247] - u[0.65] :   0.0 :   True
             27 :   0.0 :  u[0.657753] - u[0.7] :   0.0 :   True
             28 :   0.0 :  u[0.682247] - u[0.7] :   0.0 :   True
             29 :   0.0 : u[0.707753] - u[0.75] :   0.0 :   True
             30 :   0.0 : u[0.732247] - u[0.75] :   0.0 :   True
             31 :   0.0 :  u[0.757753] - u[0.8] :   0.0 :   True
             32 :   0.0 :  u[0.782247] - u[0.8] :   0.0 :   True
             33 :   0.0 : u[0.807753] - u[0.85] :   0.0 :   True
             34 :   0.0 : u[0.832247] - u[0.85] :   0.0 :   True
             35 :   0.0 :  u[0.857753] - u[0.9] :   0.0 :   True
             36 :   0.0 :  u[0.882247] - u[0.9] :   0.0 :   True
             37 :   0.0 : u[0.907753] - u[0.95] :   0.0 :   True
             38 :   0.0 : u[0.932247] - u[0.95] :   0.0 :   True
             39 :   0.0 :    u[0.957753] - u[1] :   0.0 :   True
             40 :   0.0 :    u[0.982247] - u[1] :   0.0 :   True
        x1dot_cons : Size=60, Index=t, Active=True
            Key      : Lower : Body                          : Upper : Active
            0.007753 :   0.0 : x1dot[0.007753] - u[0.007753] :   0.0 :   True
            0.032247 :   0.0 : x1dot[0.032247] - u[0.032247] :   0.0 :   True
                0.05 :   0.0 :         x1dot[0.05] - u[0.05] :   0.0 :   True
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            0.407753 :   0.0 : x2dot[0.407753] - (-82.78775382679628*x2[0.4] + 64.49489742783179*x2[0.407753] + 23.356801693808105*x2[0.432247] - 5.0639452948436166*x2[0.45]) :   0.0 :   True
            0.432247 :   0.0 :   x2dot[0.432247] - (34.78775382679633*x2[0.4] - 71.3568016938081*x2[0.407753] + 15.505102572168193*x2[0.432247] + 21.063945294843638*x2[0.45]) :   0.0 :   True
                0.45 :   0.0 :   x2dot[0.45] - (-59.999999999999865*x2[0.4] + 110.63945294843612*x2[0.407753] - 150.63945294843617*x2[0.432247] + 100.00000000000004*x2[0.45]) :   0.0 :   True
            0.457753 :   0.0 : x2dot[0.457753] - (-82.78775382679628*x2[0.45] + 64.49489742783179*x2[0.457753] + 23.356801693808105*x2[0.482247] - 5.0639452948436166*x2[0.5]) :   0.0 :   True
            0.482247 :   0.0 :   x2dot[0.482247] - (34.78775382679633*x2[0.45] - 71.3568016938081*x2[0.457753] + 15.505102572168193*x2[0.482247] + 21.063945294843638*x2[0.5]) :   0.0 :   True
                 0.5 :   0.0 :    x2dot[0.5] - (-59.999999999999865*x2[0.45] + 110.63945294843612*x2[0.457753] - 150.63945294843617*x2[0.482247] + 100.00000000000004*x2[0.5]) :   0.0 :   True
            0.507753 :   0.0 :   x2dot[0.507753] - (-82.78775382679619*x2[0.5] + 64.49489742783172*x2[0.507753] + 23.35680169380808*x2[0.532247] - 5.063945294843611*x2[0.55]) :   0.0 :   True
            0.532247 :   0.0 :   x2dot[0.532247] - (34.7877538267963*x2[0.5] - 71.35680169380802*x2[0.507753] + 15.505102572168177*x2[0.532247] + 21.063945294843613*x2[0.55]) :   0.0 :   True
                0.55 :   0.0 :         x2dot[0.55] - (-59.99999999999981*x2[0.5] + 110.639452948436*x2[0.507753] - 150.639452948436*x2[0.532247] + 99.99999999999993*x2[0.55]) :   0.0 :   True
            0.557753 :   0.0 :  x2dot[0.557753] - (-82.78775382679638*x2[0.55] + 64.49489742783186*x2[0.557753] + 23.356801693808137*x2[0.582247] - 5.063945294843623*x2[0.6]) :   0.0 :   True
            0.582247 :   0.0 :  x2dot[0.582247] - (34.787753826796376*x2[0.55] - 71.3568016938082*x2[0.557753] + 15.505102572168212*x2[0.582247] + 21.063945294843663*x2[0.6]) :   0.0 :   True
                 0.6 :   0.0 :     x2dot[0.6] - (-59.99999999999994*x2[0.55] + 110.63945294843626*x2[0.557753] - 150.63945294843637*x2[0.582247] + 100.00000000000016*x2[0.6]) :   0.0 :   True
            0.607753 :   0.0 :   x2dot[0.607753] - (-82.78775382679619*x2[0.6] + 64.49489742783172*x2[0.607753] + 23.35680169380808*x2[0.632247] - 5.063945294843611*x2[0.65]) :   0.0 :   True
            0.632247 :   0.0 :   x2dot[0.632247] - (34.7877538267963*x2[0.6] - 71.35680169380802*x2[0.607753] + 15.505102572168177*x2[0.632247] + 21.063945294843613*x2[0.65]) :   0.0 :   True
                0.65 :   0.0 :         x2dot[0.65] - (-59.99999999999981*x2[0.6] + 110.639452948436*x2[0.607753] - 150.639452948436*x2[0.632247] + 99.99999999999993*x2[0.65]) :   0.0 :   True
            0.657753 :   0.0 :  x2dot[0.657753] - (-82.78775382679638*x2[0.65] + 64.49489742783186*x2[0.657753] + 23.356801693808137*x2[0.682247] - 5.063945294843623*x2[0.7]) :   0.0 :   True
            0.682247 :   0.0 :  x2dot[0.682247] - (34.787753826796376*x2[0.65] - 71.3568016938082*x2[0.657753] + 15.505102572168212*x2[0.682247] + 21.063945294843663*x2[0.7]) :   0.0 :   True
                 0.7 :   0.0 :     x2dot[0.7] - (-59.99999999999994*x2[0.65] + 110.63945294843626*x2[0.657753] - 150.63945294843637*x2[0.682247] + 100.00000000000016*x2[0.7]) :   0.0 :   True
            0.707753 :   0.0 :   x2dot[0.707753] - (-82.78775382679619*x2[0.7] + 64.49489742783172*x2[0.707753] + 23.35680169380808*x2[0.732247] - 5.063945294843611*x2[0.75]) :   0.0 :   True
            0.732247 :   0.0 :   x2dot[0.732247] - (34.7877538267963*x2[0.7] - 71.35680169380802*x2[0.707753] + 15.505102572168177*x2[0.732247] + 21.063945294843613*x2[0.75]) :   0.0 :   True
                0.75 :   0.0 :         x2dot[0.75] - (-59.99999999999981*x2[0.7] + 110.639452948436*x2[0.707753] - 150.639452948436*x2[0.732247] + 99.99999999999993*x2[0.75]) :   0.0 :   True
            0.757753 :   0.0 :   x2dot[0.757753] - (-82.78775382679619*x2[0.75] + 64.49489742783172*x2[0.757753] + 23.35680169380808*x2[0.782247] - 5.063945294843611*x2[0.8]) :   0.0 :   True
            0.782247 :   0.0 :   x2dot[0.782247] - (34.7877538267963*x2[0.75] - 71.35680169380802*x2[0.757753] + 15.505102572168177*x2[0.782247] + 21.063945294843613*x2[0.8]) :   0.0 :   True
                 0.8 :   0.0 :          x2dot[0.8] - (-59.99999999999981*x2[0.75] + 110.639452948436*x2[0.757753] - 150.639452948436*x2[0.782247] + 99.99999999999993*x2[0.8]) :   0.0 :   True
            0.807753 :   0.0 :  x2dot[0.807753] - (-82.78775382679638*x2[0.8] + 64.49489742783186*x2[0.807753] + 23.356801693808137*x2[0.832247] - 5.063945294843623*x2[0.85]) :   0.0 :   True
            0.832247 :   0.0 :  x2dot[0.832247] - (34.787753826796376*x2[0.8] - 71.3568016938082*x2[0.807753] + 15.505102572168212*x2[0.832247] + 21.063945294843663*x2[0.85]) :   0.0 :   True
                0.85 :   0.0 :    x2dot[0.85] - (-59.99999999999994*x2[0.8] + 110.63945294843626*x2[0.807753] - 150.63945294843637*x2[0.832247] + 100.00000000000016*x2[0.85]) :   0.0 :   True
            0.857753 :   0.0 :   x2dot[0.857753] - (-82.78775382679619*x2[0.85] + 64.49489742783172*x2[0.857753] + 23.35680169380808*x2[0.882247] - 5.063945294843611*x2[0.9]) :   0.0 :   True
            0.882247 :   0.0 :   x2dot[0.882247] - (34.7877538267963*x2[0.85] - 71.35680169380802*x2[0.857753] + 15.505102572168177*x2[0.882247] + 21.063945294843613*x2[0.9]) :   0.0 :   True
                 0.9 :   0.0 :          x2dot[0.9] - (-59.99999999999981*x2[0.85] + 110.639452948436*x2[0.857753] - 150.639452948436*x2[0.882247] + 99.99999999999993*x2[0.9]) :   0.0 :   True
            0.907753 :   0.0 :  x2dot[0.907753] - (-82.78775382679638*x2[0.9] + 64.49489742783186*x2[0.907753] + 23.356801693808137*x2[0.932247] - 5.063945294843623*x2[0.95]) :   0.0 :   True
            0.932247 :   0.0 :  x2dot[0.932247] - (34.787753826796376*x2[0.9] - 71.3568016938082*x2[0.907753] + 15.505102572168212*x2[0.932247] + 21.063945294843663*x2[0.95]) :   0.0 :   True
                0.95 :   0.0 :    x2dot[0.95] - (-59.99999999999994*x2[0.9] + 110.63945294843626*x2[0.907753] - 150.63945294843637*x2[0.932247] + 100.00000000000016*x2[0.95]) :   0.0 :   True
            0.957753 :   0.0 :     x2dot[0.957753] - (-82.78775382679619*x2[0.95] + 64.49489742783172*x2[0.957753] + 23.35680169380808*x2[0.982247] - 5.063945294843611*x2[1]) :   0.0 :   True
            0.982247 :   0.0 :     x2dot[0.982247] - (34.7877538267963*x2[0.95] - 71.35680169380802*x2[0.957753] + 15.505102572168177*x2[0.982247] + 21.063945294843613*x2[1]) :   0.0 :   True
                   1 :   0.0 :              x2dot[1] - (-59.99999999999981*x2[0.95] + 110.639452948436*x2[0.957753] - 150.639452948436*x2[0.982247] + 99.99999999999993*x2[1]) :   0.0 :   True

    1 ContinuousSet Declarations
        t : Dim=0, Dimen=1, Size=61, Domain=None, Ordered=Sorted, Bounds=(0, 1)
            [0, 0.007753, 0.032247, 0.05, 0.057753, 0.082247, 0.1, 0.107753, 0.132247, 0.15, 0.157753, 0.182247, 0.2, 0.207753, 0.232247, 0.25, 0.257753, 0.282247, 0.3, 0.307753, 0.332247, 0.35, 0.357753, 0.382247, 0.4, 0.407753, 0.432247, 0.45, 0.457753, 0.482247, 0.5, 0.507753, 0.532247, 0.55, 0.557753, 0.582247, 0.6, 0.607753, 0.632247, 0.65, 0.657753, 0.682247, 0.7, 0.707753, 0.732247, 0.75, 0.757753, 0.782247, 0.8, 0.807753, 0.832247, 0.85, 0.857753, 0.882247, 0.9, 0.907753, 0.932247, 0.95, 0.957753, 0.982247, 1]

    15 Declarations: t x1 x2 u x1dot x2dot obj x1dot_cons x2dot_cons init_x1 init_x2 x1dot_disc_eq x2dot_disc_eq u_interpolation_constraints_index u_interpolation_constraints

```python
solver=pyo.SolverFactory('ipopt')
results = solver.solve(m,tee=True)
```

    Ipopt 3.12.12:

    ******************************************************************************
    This program contains Ipopt, a library for large-scale nonlinear optimization.
     Ipopt is released as open source code under the Eclipse Public License (EPL).
             For more information visit http://projects.coin-or.org/Ipopt
    ******************************************************************************

    This is Ipopt version 3.12.12, running with linear solver mumps.
    NOTE: Other linear solvers might be more efficient (see Ipopt documentation).

    Number of nonzeros in equality constraint Jacobian...:      982
    Number of nonzeros in inequality constraint Jacobian.:        0
    Number of nonzeros in Lagrangian Hessian.............:      120

    Total number of variables............................:      302
                         variables with only lower bounds:        0
                    variables with lower and upper bounds:      122
                         variables with only upper bounds:        0
    Total number of equality constraints.................:      282
    Total number of inequality constraints...............:        0
            inequality constraints with only lower bounds:        0
       inequality constraints with lower and upper bounds:        0
            inequality constraints with only upper bounds:        0

    iter    objective    inf_pr   inf_du lg(mu)  ||d||  lg(rg) alpha_du alpha_pr  ls
       0  9.9999900e-03 9.90e-01 1.39e-04  -1.0 0.00e+00    -  0.00e+00 0.00e+00   0
       1  5.8905427e-01 1.09e+01 1.46e+02  -1.7 1.92e+01    -  5.50e-04 3.21e-02F  1
       2  4.2017983e-01 2.19e+01 7.14e+03  -1.7 4.65e+00    -  1.40e-04 9.90e-01f  1
       3  6.8404869e-01 7.34e+00 7.78e+01  -1.7 7.47e+00    -  6.16e-01 9.90e-01h  1
       4  8.0231348e-01 1.36e+00 3.62e+03  -1.7 1.14e+00    -  8.13e-01 9.90e-01h  1
       5  8.2251267e-01 1.66e-02 3.17e-02  -1.7 9.48e-01    -  1.00e+00 1.00e+00h  1
       6  8.1510746e-01 1.18e-02 5.27e+04  -3.8 3.10e-01    -  9.48e-01 1.00e+00h  1
       7  7.1223952e-01 4.21e-01 1.01e+04  -3.8 1.80e+00    -  8.08e-01 1.00e+00h  1
       8  7.6169962e-01 8.70e-05 1.37e+03  -3.8 4.12e-01    -  8.65e-01 1.00e+00h  1
       9  7.6177628e-01 1.58e-04 1.52e-05  -3.8 1.87e-02    -  1.00e+00 1.00e+00h  1
    iter    objective    inf_pr   inf_du lg(mu)  ||d||  lg(rg) alpha_du alpha_pr  ls
      10  7.6165391e-01 6.80e-04 1.27e-05  -5.7 3.92e-02    -  1.00e+00 1.00e+00h  1
      11  7.6171721e-01 3.58e-07 1.30e-08  -5.7 5.98e-04    -  1.00e+00 1.00e+00h  1
      12  7.6171723e-01 1.18e-07 2.23e-09  -8.6 5.00e-04    -  1.00e+00 1.00e+00h  1
      13  7.6171725e-01 4.25e-14 5.15e-16  -8.6 1.00e-07    -  1.00e+00 1.00e+00h  1

    Number of Iterations....: 13

                                       (scaled)                 (unscaled)
    Objective...............:   7.6171724526877993e-01    7.6171724526877993e-01
    Dual infeasibility......:   5.1485543769626019e-16    5.1485543769626019e-16
    Constraint violation....:   2.8227360768296603e-14    4.2521541843143495e-14
    Complementarity.........:   2.5059036763221995e-09    2.5059036763221995e-09
    Overall NLP error.......:   2.5059036763221995e-09    2.5059036763221995e-09

    Number of objective function evaluations             = 15
    Number of objective gradient evaluations             = 14
    Number of equality constraint evaluations            = 15
    Number of inequality constraint evaluations          = 0
    Number of equality constraint Jacobian evaluations   = 14
    Number of inequality constraint Jacobian evaluations = 0
    Number of Lagrangian Hessian evaluations             = 13
    Total CPU secs in IPOPT (w/o function evaluations)   =      0.071
    Total CPU secs in NLP function evaluations           =      0.001

    EXIT: Optimal Solution Found.

```python
x1 = []
x2 = []
u = []
t=[]

print(sorted(m.t))

for i in sorted(m.t):
    t.append(i)
    x1.append(pyo.value(m.x1[i]))
    x2.append(pyo.value(m.x2[i]))
    u.append(pyo.value(m.u[i]))
```

    [0, 0.007753, 0.032247, 0.05, 0.057753, 0.082247, 0.1, 0.107753, 0.132247, 0.15, 0.157753, 0.182247, 0.2, 0.207753, 0.232247, 0.25, 0.257753, 0.282247, 0.3, 0.307753, 0.332247, 0.35, 0.357753, 0.382247, 0.4, 0.407753, 0.432247, 0.45, 0.457753, 0.482247, 0.5, 0.507753, 0.532247, 0.55, 0.557753, 0.582247, 0.6, 0.607753, 0.632247, 0.65, 0.657753, 0.682247, 0.7, 0.707753, 0.732247, 0.75, 0.757753, 0.782247, 0.8, 0.807753, 0.832247, 0.85, 0.857753, 0.882247, 0.9, 0.907753, 0.932247, 0.95, 0.957753, 0.982247, 1]

```python
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(t,x1)
plt.plot(t,x2)
plt.show()

plt.plot(t,u)
plt.show()
```

```python

```