```
qd = ((s0*s**2 + s1*s + s2)*(s**3 + a1*s**2 + a2*s + a3) + (r0*s**2 + r1*s + r2)*(b0*s**3 + b1*s**2 + b2*s + b3)).expand().collect(s)
qd
```

    a3*s2 + b3*r2 + s**5*(b0*r0 + s0) + s**4*(a1*s0 + b0*r1 + b1*r0 + s1) + s**3*(a1*s1 + a2*s0 + b0*r2 + b1*r1 + b2*r0 + s2) + s**2*(a1*s2 + a2*s1 + a3*s0 + b1*r2 + b2*r1 + b3*r0) + s*(a2*s2 + a3*s1 + b2*r2 + b3*r1)

```
qd0 = qd.coeff(s, 5)
qd1 = qd.coeff(s, 4)
qd2 = qd.coeff(s, 3)
qd3 = qd.coeff(s, 2)
qd4 = qd.coeff(s, 1)
qd5 = qd.coeff(s, 0)
```

```
S = Matrix([[ 1,  0,  0, b0,  0,  0],
            [a1,  1,  0, b1, b0,  0],
            [a2, a1,  1, b2, b1, b0],
            [a3, a2, a1, b3, b2, b1],
            [ 0, a3, a2,  0, b3, b2],
            [ 0,  0, a3,  0,  0, b3]])
S
```

    Matrix([
    [ 1,  0,  0, b0,  0,  0],
    [a1,  1,  0, b1, b0,  0],
    [a2, a1,  1, b2, b1, b0],
    [a3, a2, a1, b3, b2, b1],
    [ 0, a3, a2,  0, b3, b2],
    [ 0,  0, a3,  0,  0, b3]])

```
SR = Matrix([[s0], [s1], [s2], [r0], [r1], [r2]])
SR
```

    Matrix([
    [s0],
    [s1],
    [s2],
    [r0],
    [r1],
    [r2]])

```
S*SR
```

    Matrix([
    [                                   b0*r0 + s0],
    [                   a1*s0 + b0*r1 + b1*r0 + s1],
    [   a1*s1 + a2*s0 + b0*r2 + b1*r1 + b2*r0 + s2],
    [a1*s2 + a2*s1 + a3*s0 + b1*r2 + b2*r1 + b3*r0],
    [                a2*s2 + a3*s1 + b2*r2 + b3*r1],
    [                                a3*s2 + b3*r2]])

```
QD = Matrix([[qd0], [qd1], [qd2], [qd3], [qd4], [qd5]])
QD
```

    Matrix([
    [                                   b0*r0 + s0],
    [                   a1*s0 + b0*r1 + b1*r0 + s1],
    [   a1*s1 + a2*s0 + b0*r2 + b1*r1 + b2*r0 + s2],
    [a1*s2 + a2*s1 + a3*s0 + b1*r2 + b2*r1 + b3*r0],
    [                a2*s2 + a3*s1 + b2*r2 + b3*r1],
    [                                a3*s2 + b3*r2]])

```
Sm1 = S.inv()
```

```
Sm1
```

    Matrix([
    [                                                                                -b0*(a1*a2 - a1*(a1**2 - a2) - a3)/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3) + b0*(a1*a3 - a2*(a1**2 - a2) - (-a2*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2) - a3*(-a1*b0 + b1))*(a1*a2 - a1*(a1**2 - a2) - a3)/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3))*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)/((-(a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)) - ((a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(-b0*(-a1*b0 + b1)/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3) + b0*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2)*(-a2*b0 + b2 - (-a1*b0 + b1)*(-a2*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2) - a3*(-a1*b0 + b1))/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3))*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)/((-(a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)))*(-a3*(a1**2 - a2) + a3*(a1*a2 - a1*(a1**2 - a2) - a3)*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2)/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3) - (-a3*(-a1*b0 + b1) + a3*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2)**2/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3))*(a1*a3 - a2*(a1**2 - a2) - (-a2*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2) - a3*(-a1*b0 + b1))*(a1*a2 - a1*(a1**2 - a2) - a3)/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3))*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)/(-(a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)))*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)/(a3*(a1*b0 - b1)*((a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a3*((a1*b0 - b1)*(a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1)) + (-a2*b0 + b2)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*((a1*b0 - b1)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3) - (a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2)**2) + (-a3*b0 + b3)*((a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)) + 1,                                                                                -b0*(a1**2 - a2)/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3) + b0*(a1*a2 - a3 - (a1**2 - a2)*(-a2*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2) - a3*(-a1*b0 + b1))/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3))*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)/((-(a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)) - ((a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(-b0*(-a1*b0 + b1)/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3) + b0*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2)*(-a2*b0 + b2 - (-a1*b0 + b1)*(-a2*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2) - a3*(-a1*b0 + b1))/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3))*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)/((-(a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)))*(a1*a3 + a3*(a1**2 - a2)*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2)/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3) - (-a3*(-a1*b0 + b1) + a3*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2)**2/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3))*(a1*a2 - a3 - (a1**2 - a2)*(-a2*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2) - a3*(-a1*b0 + b1))/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3))*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)/(-(a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)))*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)/(a3*(a1*b0 - b1)*((a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a3*((a1*b0 - b1)*(a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1)) + (-a2*b0 + b2)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*((a1*b0 - b1)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3) - (a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2)**2) + (-a3*b0 + b3)*((a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)),                                                                                a1*b0/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3) + b0*(a1*(-a2*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2) - a3*(-a1*b0 + b1))/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3) - a2)*(-a1*(-a1*b0 + b1) - a2*b0 + b2)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3)/((-(a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)) - ((a2*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a3*(a1*b0 - b1))*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - (a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3)*(a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) - a2*(a1*b0 - b1) + a3*b0 - b3))*(-b0*(-a1*b0 + b1)/(-a1*(a1*(a1*b0 - b1) - a2*b0 + b2) + a2*(a1*b0 - b1) - a3*b0 + b3) + b0*(-a1*(-a1*b0 + b1) - 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```
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    [                                                                                -2,                                                                                1,                                                                                0,                                                                                0,                                                                                0,                                                                                0],
    [4*(-2 - 4/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 8*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(-2 - 4/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 2 - 2/(2*a - 4))/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) + 2 + 2/(2*a - 4), 4*(3 + 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 8*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(3 + 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 2 + 4/(2*a - 4))/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) - 2 - 4/(2*a - 4), 4*(-2 - 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 8*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(-2 - 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 1 - 4/(2*a - 4))/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) + 1 + 4/(2*a - 4), -8*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-16*(-2*a + 4)/((2*a - 4)**2*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 2/(2*a - 4))/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) + 16*(-2*a + 4)/((2*a - 4)**2*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 2/(2*a - 4),  32*(-2*a + 4)**3*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)/((2*a - 4)**2*(2*a*(-2*a + 4) - 8)**2*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) + 4*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)), -8*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32))],
    [   -2*(-2 - 4/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 4*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(-2 - 4/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 2 - 2/(2*a - 4))/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) - 1/(2*a - 4),    -2*(3 + 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 4*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(3 + 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 2 + 4/(2*a - 4))/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) + 2/(2*a - 4),    -2*(-2 - 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 4*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(-2 - 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 1 - 4/(2*a - 4))/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) - 2/(2*a - 4),   4*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-16*(-2*a + 4)/((2*a - 4)**2*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 2/(2*a - 4))/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) - 8*(-2*a + 4)/((2*a - 4)**2*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 1/(2*a - 4), -16*(-2*a + 4)**3*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)/((2*a - 4)**2*(2*a*(-2*a + 4) - 8)**2*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) - 2*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)),  4*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32))],
    [                                          (-2 - 4/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/(2*a*(-2*a + 4) - 8) - 2*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(-2 - 4/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 2 - 2/(2*a - 4))/((2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)),                                           (3 + 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/(2*a*(-2*a + 4) - 8) - 2*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(3 + 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 2 + 4/(2*a - 4))/((2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)),                                           (-2 - 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/(2*a*(-2*a + 4) - 8) - 2*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(-2 - 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 1 - 4/(2*a - 4))/((2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)),                             -2*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-16*(-2*a + 4)/((2*a - 4)**2*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 2/(2*a - 4))/((2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) + 4*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)),                    8*(-2*a + 4)**3*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)**2*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)) + (-2*a + 4)/(2*a*(-2*a + 4) - 8),           -2*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)/((2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32))],
    [                                                                                (-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(-2 - 4/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 2 - 2/(2*a - 4))/(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32),                                                                                (-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(3 + 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 2 + 4/(2*a - 4))/(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32),                                                                                (-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-4*(-2 - 8/(2*a - 4))*(-2*a + 4)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) - 1 - 4/(2*a - 4))/(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32),                                                                                (-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)*(-16*(-2*a + 4)/((2*a - 4)**2*(2*a*(-2*a + 4) - 8)) + 2/(2*a - 4))/(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32),                                                        -4*(-2*a + 4)**2*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)/((2*a - 4)*(2*a*(-2*a + 4) - 8)*(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)),                                        (-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8)/(2*a*(-2*a + 4)*(-2*a*(-2*a + 4) + 8) + 16*a - 32)]])

```
from sympy import init_printing, var, Matrix, simplify, Rational
```

```
init_printing()
```

```
var("s, a, e")
var("a:4")
var("b:4")
var("s:3")
var("r:3")
var("q:6");
```

```
N = 2*(s + a)
M = (s + 1)*(s**2 + s + 1)
Q = (s + 1)*(s + Rational(1,2))**2
S = 1
R = Q - M*S
```

```
Q
```

```
R
```

```
SMN = Matrix([[1, 0, 0,   0,   0,   0],
              [2, 1, 0,   0,   0,   0],
              [2, 2, 1,   2,   0,   0],
              [1, 2, 2, 2*a,   2,   0],
              [0, 1, 2,   0, 2*a,   2],
              [0, 0, 1,   0,   0, 2*a]])
SMN
```

```
SMN.det().factor()
```

```
(Q*(s+1/e)**2)
```

```
v = Matrix([[1],
            [2/e + 2],
            [4/e + 1/e**2 + Rational(5,4)],
            [5/(2*e) + 2/e**2 + Rational(1,4)],
            [1/(2*e) + 5/(4*e**2)],
            [1/(4*e**2)]])
v
```

```
coef = simplify(SMN.inv()*v)
```

```
S = coef[0]*s**2 + coef[1]*s + coef[2]
R = coef[3]*s**2 + coef[4]*s + coef[5]
```

```
S
```

```
R
```

```
Qob = M*S + N*R
Qob.simplify().expand().collect(s)
```

```
FT = (1/S)*((N/M)/(1+(R/S)*(N*M)))
FT.expand().simplify()
```

```
Sfm = S.subs({a:0.5, e:0.1})
Rfm = R.subs({a:0.5, e:0.1})
Nfm = N.subs(a, 0.5)
```

```
FTfm = (1/Sfm)*((Nfm/M)/(1+(Rfm/Sfm)*(Nfm*M)))
FTfm.expand().simplify()
```

IPythonNotebooks/Teoria de Control I/Matriz de Sylvester.ipynb